Interacción de muchos cuerpos

El complejo de problemas sobre la interacción de muchos cuerpos es bastante extenso y es una de las secciones básicas de la mecánica , lejos de estar completamente resuelta . En el marco del concepto newtoniano , el problema se bifurca en:

un complejo de problemas de colisión de dos o más cuerpos materiales, cuando la influencia de los cuerpos entre sí está limitada por el tiempo de su contacto directo;
vibraciones coherentes de cuerpos materiales con una influencia limitada de cuerpos entre sí por cuerpos vecinos;
un conjunto de problemas sobre el movimiento mutuo de los cuerpos bajo la influencia de los campos eléctricos gravitacionales de todos los cuerpos entre sí.

En otras palabras, el complejo de tareas se divide de acuerdo con la condición de interacción de los cuerpos entre sí, cuando se pueden descuidar ciertos matices de las interacciones. En el primer caso, se desprecia la interacción fuera del contacto directo entre los cuerpos. En el segundo caso, se desprecian las interacciones con elementos no vecinos del sistema. En el tercer caso, por regla general, no se consideran los problemas de contacto directo entre cuerpos. Estas limitaciones se deben a la complejidad de la solución general del problema que, en teoría, debería incluir los tres conjuntos de problemas.

Dispersión de dos o más cuerpos materiales

Este conjunto de problemas resueltos en el marco de la teoría del impacto , a su vez, se divide en

colisiones absolutamente elásticas ;
colisiones absolutamente inelásticas;
colisiones parcialmente elásticas.

Asimismo, este conjunto de tareas se subdivide en tareas de colisiones centrales y no centrales.

Para dos cuerpos, se denomina colisión directa o central, en la que la normal común a la superficie de los cuerpos en el punto de contacto pasa por sus centros de masa y cuando las velocidades de los centros de masa al comienzo del impacto son dirigido a lo largo de la normal común. Para muchos cuerpos, una colisión puede considerarse central, en la que para cada uno de los dos cuerpos del sistema la normal a la superficie de los cuerpos en el punto de contacto pasa por sus centros de masa y cuando las dimensiones geométricas de las propias masas puede ser descuidado.

Colisiones absolutamente elásticas

Para una colisión central de dos cuerpos, la solución del problema tiene la forma [1] , [2]

u_{1}={\frac {{v_{1}\left({m_{1}-m_{2}}\right)+2m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,;

u_{2}={\frac {{v_{2}\left({m_{2}-m_{1}}\right)+2m_{1}v_{1}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,\,.

donde son las velocidades de los cuerpos antes de la colisión; son las masas de dos cuerpos, son las velocidades de los cuerpos después del choque. $v_{1},\,v_{2}$ $m_{1},\,m_{2}$ $u_{1},\,u_{2}$

Para 'n' cuerpos, la solución se parece a [3]

{\vec u}_{i}={\frac {{\left({m_{i}-M_{i}}\right){\vec v}_{i}+2{\vec v}_{ {mi}}M_{i}}}{{\sum \limits _{j}{m_{j}}}}}

donde es el número del cuerpo estudiado del sistema; $i$

${\vec v}_{{mi}}={\frac {1}{{M_{i}}}}\sum \limits_{{j\neq i}}^{n}{m_{j}{ \vec v}_{j}=}{\frac {1}{{M_{i))))\left({m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+... +m_{{i-1}}v_{{i-1}}+m_{{i+1}}v_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}v_{{ n-1}}+m_{n}v_{n}}\derecho)$ ;

$M_{i}=\sum \limits _{{j\neq i}}^{n}{m_{j}=}\,\,m_{1}+m_{2}+...+m_{{ i-1}}+m_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}+m_{n}$ .

http://selftrans.narod.ru/v5_1/many_body/many_body65/agfig9.gif

Con un impacto descentrado, se debe tener en cuenta el par que surge debido al impacto descentrado, al que se distribuye parte de la energía y el impulso de los cuerpos que chocan.

Colisiones absolutamente inelásticas

Para un impacto central absolutamente inelástico de dos cuerpos, la solución tiene la forma [4] , [5]

u={\frac {{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}

La energía perdida en el impacto está determinada por el teorema de Carnot : La energía cinética perdida por un sistema de cuerpos durante un impacto absolutamente inelástico es igual a la energía cinética que tendría el sistema si se moviera con velocidades perdidas [6] .

La energía que se transforma en calentamiento de los cuerpos que chocan debido a un impacto absolutamente inelástico está determinada por la expresión [4]

\Delta W=-{\frac {{m_{1}m_{2}}}{{2\left({m_{1}+m_{2}}\right)}}}\left({v_{1 }-v_{2}}\derecho)^{2}<0

En un impacto descentrado, como en el caso de un impacto perfectamente elástico, es necesario tener en cuenta el par generado por el impacto descentrado. Conduce a la rotación conjunta de los cuerpos atascados tras el impacto.

Impacto no absolutamente elástico

Con un impacto no absolutamente elástico (o simplemente inelástico), se utiliza el concepto de coeficiente de recuperación del impacto para encontrar una solución.

El factor de recuperación en la teoría del impacto es un valor que depende de las propiedades elásticas de los cuerpos que chocan y determina qué proporción de la velocidad relativa inicial de estos cuerpos se restablece al final del impacto . factor de recuperación. caracteriza la pérdida de energía mecánica de los cuerpos en colisión debido a la aparición de deformaciones residuales en ellos y su calentamiento [7] . Por lo general, el factor de recuperación está determinado por el rebote del cuerpo de la losa maciza. En este caso, el coeficiente, en particular, es igual a [8]

árbol sobre árbol 1/2;
acero sobre acero 5/9;
marfil sobre marfil 8/9;
vidrio sobre vidrio 15/16.

Con un impacto central inelástico de dos cuerpos, dado que el impacto depende de la diferencia de velocidades, el coeficiente de recuperación viene determinado por la relación [5]

k=-{\frac {{u_{1}-u_{2}}}{{v_{1}-v_{2}}}}

La pérdida de energía durante un impacto inelástico está determinada por la expresión [9] :

\Delta W={\frac {{1-k}}{{2\left({1+k}\right)}}}\left[{M_{1}\left({v_{1}-u_{ 1}}\derecha)^{2}+M_{2}\izquierda({v_{2}-u_{2}}\derecha)^{2}}\derecha]

Con un impacto descentrado, despreciando la fricción, el coeficiente de recuperación se determina solo para proyecciones de velocidades perpendiculares a la superficie de contacto de los cuerpos [10] .

Vibraciones coherentes de cuerpos materiales

Las vibraciones coherentes de los cuerpos materiales se describen mediante un sistema de ecuaciones de segundo orden. Por ejemplo, para una línea elástica homogénea finita, cuyo elemento central está afectado por una fuerza armónica externa , este sistema de ecuaciones tiene la forma $Pie)$

$m{\frac{{d^{2}\Delta _{1}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{2}-\Delta _{1})\,\, ;$

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{2}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{3}+\Delta _{1}-2\Delta _ {2})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{k}}}{{dt^{2}}}}=F(t)+s(\Delta _{{k+1}}+\Delta _{{k-1}}-2\Delta_{k})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

${m{\frac {{d^{2}\Delta _{n}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{{n-1}}-\Delta _{n} )\,}$ .

En un sistema dado de ecuaciones, la primera, la última y la ecuación difieren de las demás, definiendo, respectivamente, las condiciones iniciales y de contorno para las oscilaciones que ocurren en un sistema dinámico dado . Por lo tanto, para un sistema dinámico con parámetros agrupados, no se necesitan condiciones adicionales excepto por el propio sistema de ecuaciones diferenciales. Al encontrar soluciones analíticas exactas, estas características en el sistema de ecuaciones de modelado conducen a una diferencia en las soluciones del problema. En particular, describen las condiciones para la ocurrencia de oscilaciones en una de las ramas, así como la existencia simultánea de una onda progresiva y estacionaria en un sistema dinámico. $k$

Los sistemas de ecuaciones que describen sistemas dinámicos discretos tienen, por regla general, tres soluciones: periódica, crítica y aperiódica [11] . Una excepción son los sistemas dinámicos con subsistemas resonantes. En estos sistemas, existe un modo de "medida negativa de inercia" [12] .

Es importante señalar que al pasar al límite a sistemas dinámicos con parámetros distribuidos a nivel de modelado de ecuaciones diferenciales, las condiciones iniciales y de contorno desaparecen y el sistema se reduce a una ecuación de onda . En este caso, la introducción de condiciones iniciales y de contorno adicionales se convierte en una necesidad urgente. Al mismo tiempo, surge el problema de escribir estas condiciones, especialmente en casos no triviales de transiciones entre segmentos de línea con diferentes parámetros, con límites no estacionarios, etc. Por otro lado, si usamos el paso al límite no para modelar ecuaciones, pero para sus soluciones, entonces las singularidades incrustadas en el sistema de modelado de ecuaciones se almacenan en las soluciones y, al pasar al límite, se muestran en las soluciones para un sistema dinámico distribuido. Esto elimina el problema de los límites al encontrar soluciones para sistemas dinámicos con límites y condiciones iniciales complejos.

Los sistemas dinámicos multidimensionales son considerados principalmente por métodos numéricos y métodos de matemáticas discretas. En particular, se están desarrollando direcciones para extender el método Krylov-Bogolyubov a sistemas bidimensionales [13] ; modelado numérico por métodos de matemáticas discretas [14] ; métodos basados en la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales y métodos gráfico-analíticos de álgebra abstracta [15] , etc. $norte$

Varios investigadores se ocupan de los problemas de hacer coincidir los problemas de impacto con los problemas de los sistemas uniformes [16] .

La falta de soluciones exactas para modelos multidimensionales básicos nos obliga a buscar algunas aproximaciones particulares y, a menudo, a limitarnos solo a estimaciones externas remotas del comportamiento de sistemas dinámicos discretos. Hoy, “en un sentido más amplio, el problema es encontrar un conjunto de condiciones que se satisfagan para un sistema dinámico típico y que al mismo tiempo determinen en gran medida sus posibles propiedades, haciendo más o menos visible la situación. Tal declaración general no es tan clara. Sin embargo, no hay duda de que este problema se ha resuelto en el caso de una pequeña dimensión del espacio de fase y no se ha resuelto en el caso general” [17] .

El problema de N -cuerpos

El problema de los cuerpos se subdivide en: $norte$

el problema de la dispersión de cuerpos (movimiento inestable) debido a la interacción en campos mutuos entre sí;
el problema del movimiento estacionario mutuo de cuerpos en los campos de otros.

A su vez, el problema del movimiento estacionario se subdivide tradicionalmente en el problema de los dos cuerpos, el problema de los tres cuerpos y el problema del cuerpo. Además, también tradicionalmente, los problemas de movimiento no estacionario de los cuerpos se utilizan para estudiar el movimiento en física de partículas elementales, es decir, en campos eléctricos, y los problemas de movimiento estacionario se utilizan en astrofísica, es decir, en campos gravitatorios. $norte$

Problema de dos cuerpos

En la actualidad, se cree que el problema de los dos cuerpos se ha resuelto con exactitud, “porque se puede reducir al problema de Kepler, es decir, a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describe el movimiento de una partícula que se mueve bajo la atracción gravitatoria de una segunda partícula fijada en el origen. La solución al problema de Kepler son las secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas” [18] . Más precisamente, “el problema de los dos cuerpos se reduce al problema equivalente del movimiento de un punto, un punto imaginario con masa y radio vector r , en un campo centralmente simétrico con un centro fijo” [19] . La construcción del modelado tiene la forma que se muestra en la figura [1] $\mu$ $\mu$

La ecuación se reduce a:

\mu {{\mathbf {{\ddot r}}}}={{\mathbf {F}}}_{{12}}\left({\left|({\mathbf {r}}}\right| }\Correcto)

donde es la masa reducida; es un vector que caracteriza la ubicación relativa de los puntos. $\mu =m_{1}m_{2}/\izquierda({m_{1}+m_{2}}\derecha)$ ${{\mathbf {r}}}={\frac {{m_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{2}= -{\frac {{m_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{1}$

La solución de esta ecuación tiene la forma: ; ${{\mathbf {M'}}}_{0}{{\mathbf {r}}}=\mu \left[{({\mathbf {rv}}}}\right]{{\mathbf {r} }}=0$

$t=\pm \int {{\frac {{dr}}{({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}} \right)}}}}}}+const$ ;

$\varphi =\pm \int {{\frac {({\frac {{M'_{0))}({\mu r^{2))))dr)){({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}}\right)}}}}}}+const$ ;

$U_{{eff}}=U\left(r\right)+{\frac {{\left({M'_{0}}\right)^{2}}}{{2\mu r^{2 }}}}$ ; ; , $U\left(r\right)=-{\frac {\alpha }{r))$ $E'_{0}={\frac {{\mu v^{2}}}{2}}-U\izquierda(r\derecha)$

donde es igual para la interacción gravitatoria y para la interacción electrostática [20] . $\alfa$ $\gamma m_{1}m_{2}$ $-q_{1}q_{2}$

Según el signo, la trayectoria será hiperbólica ( ), parabólica ( ), elíptica ( ) o circular ( ). $E'_{0}$ $E'_{0}>0$ $E'_{0}=0$ $0>E'_{0}>U_{{eff}}$ $E'_{0}=U_{{eff}}$

El problema de los tres cuerpos

Se cree que no se pueden describir todas las soluciones del problema de los tres cuerpos. Por lo tanto, casi todos los estudios en el problema de los tres cuerpos se refieren a la solución de problemas particulares de libración de cuerpos pequeños bajo el supuesto de que el cuerpo en estudio es pequeño en el campo de otros dos cuerpos y en el estudio de la estabilidad de soluciones periódicas . 21] [22] . En este caso, el problema se reduce a menudo a un problema de dos cuerpos. Newton fue uno de los primeros que intentó resolver este tipo de problemas particulares en el estudio de la Luna en el campo de la Tierra y el Sol, utilizando la ley de la gravitación universal que había descubierto. Demostró que la ecuación anual para el movimiento medio de la Luna proviene del diferente estiramiento de la órbita de la Luna por la fuerza del Sol. También encontró que en el perihelio de la Tierra, debido a la mayor potencia del Sol, el apogeo y los nodos de la Luna se mueven más rápido que en su afelio, y además, en razón inversa de los cubos de las distancias de los la Tierra al Sol; de ahí vienen las ecuaciones anuales de estos movimientos, que son proporcionales a la ecuación del centro del sol. Al mismo tiempo, calculó las desviaciones de la órbita de la Luna en el apogeo y perihelio de la Tierra con respecto al Sol, etc. [23] .

Las soluciones periódicas más simples para el problema de los tres cuerpos fueron descubiertas por Euler [1765] y Lagrange [1772]. Construidas a partir de elipses keplerianas, son las únicas soluciones implícitas [22] .

Poincaré encontró invariantes de soluciones periódicas, construyó una solución en forma de serie y consideró las condiciones de estabilidad [24] .

Como resultado, hoy existen seis enfoques principales para resolver el problema:

método de Laplace-Newcomb;
método planetario de Hill;
Método de variación de constantes arbitrarias;
método lunar de Hill;
Método de órbitas periódicas;
método Cowell.

La solución encontrada por K. Zundman en 1912 se presenta en forma de series lentamente convergentes. Según el teorema de Riemann, esta área se puede representar en un círculo de radio unidad , es decir, la solución al problema de los tres cuerpos se puede representar como funciones del parámetro ½, holomorfas en el círculo . Tales funciones se pueden representar como series en potencias positivas que convergen a lo largo del círculo . Por lo tanto, la solución del problema de los tres cuerpos también se puede representar en la forma $\izquierda|\tau \derecha|<1$ $\izquierda|\tau \derecha|<1$ $\tau$

q_{j}={{\rm {B}}}_{j}\left(\tau \right),\,\,\,t={{\rm {B}}}_{0}\left (\tau \derecha),\,\,\,\izquierda|\tau \derecha|<1

Usando estimaciones bastante difíciles, Sundman (1912) demostró que uno puede tomar la tira $GRAMO$

\left|{\nombre del operador {Im}v}\right|<\delta

y especificó una expresión para . Como mostró Beloritsky, para las necesidades de la astronomía computacional en la serie "convergente" de Sundman, uno debe tomar al menos términos y, por lo tanto, no son adecuados para calcular coordenadas. $\delta$ $10^{{8\cdot 10^{6}}}$

Las soluciones periódicas, como pequeñas perturbaciones en el movimiento constante de un cuerpo pequeño en el campo de dos cuerpos grandes, se encuentran a través de la integral de Jacobi [25] .

La clase de soluciones periódicas se puede ampliar mediante el uso de soluciones analíticas exactas para vibraciones acopladas de cuerpos materiales. En este caso, el problema se reduce en el caso general a un sistema de tres ecuaciones algebraicas.

Problema general de N -cuerpos

Ahora se cree ampliamente que el problema de los cuerpos no puede resolverse en el mismo sentido que el problema de los dos cuerpos. De hecho, hay muy buena evidencia de que el problema general de N-cuerpos no tiene solución. Sin embargo, desde la época de Newton, se han escrito miles de artículos sobre el problema de los N-cuerpos. Estos artículos contienen soluciones particulares, estimaciones asintóticas , información sobre colisiones, existencia y no existencia de integrales, series de soluciones, singularidades sin colisiones, etc. [18] . $norte$ $N \ geqslant 3$

En consecuencia, utilizando la técnica para construir una solución para oscilaciones acopladas de tres cuerpos, una serie de problemas de cuerpo pueden reducirse a un sistema de ecuaciones algebraicas con solución subsiguiente por métodos matriciales. En el futuro, este enfoque permitirá que los métodos analíticos resuelvan la clase de problemas de movimiento finito no periódico de cuerpos. $norte$ $norte$

Notas

↑ Yavorsky B. M. Curso de Física General, volumen 1, M., Higher School, 1963, p. 61
↑ Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. M., Nauka, 1970, pág. 419
↑ Solución exacta del problema de interacción elástica de tres o más masas puntuales en la teoría del impacto . Consultado el 26 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ 1 2 Yavorsky B. M. Curso de Física General, volumen 1, M., Higher School, 1963, p. 62
↑ 1 2 Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. M., Nauka, 1970, pág. 418
↑ Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. M., Nauka, 1970, pág. 420
↑ Coeficiente de recuperación : artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .
↑ Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. M., Nauka, 1970, pág. 416
↑ Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. M., Nauka, 1970, pág. 421
↑ Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. M., Nauka, 1970, pág. 417
↑ Algunas características de la simulación de oscilaciones forzadas . Fecha de acceso: 26 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 13 de julio de 2006. (indefinido)
↑ Al cálculo de sistemas oscilatorios con resonancia compleja . Consultado el 26 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 13 de febrero de 2012. (indefinido)
^ "Un algoritmo subespacial de Krylov para la interpolación multicuadrática en muchas dimensiones". A. Briginshaw, G. Goodsell y MJD Powell, IMA Journal of Numerical Analysis (2005)
↑ Yu. B. Kolesov, Yu. B. Senichenkov Simulación de sistemas dinámicos complejos Copia de archivo del 13 de febrero de 2011 en Wayback Machine
↑ Anosov D.V. Sistemas dinámicos suaves. cap. 2. Teoría elemental . Fecha de acceso: 26 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 19 de febrero de 2013. (indefinido)
↑ CARACTERÍSTICAS LOCALES DE SISTEMAS DINÁMICOS CON INTERACCIONES DE IMPACTO
↑ D.V. Sistemas dinámicos suaves. cap. 2. Teoría elemental, pág. 181-182
↑ 1 2 Meyer Kenneth R. Apuntes de clase de matemáticas. Soluciones periódicas del problema de N-cuerpos. Saltador. 1999, ISBN 3-540-66630-3
↑ Olkhovsky I. I. Curso de física teórica para físicos. M., Nauka, 1970, pág. 106-107
↑ Olkhovsky I. I. Curso de física teórica para físicos. M., Nauka, 1970, pág. 107-108
↑ A. V., Popov Yu. P. Construcción de soluciones periódicas para el problema restringido de los tres cuerpos (enlace inaccesible)
↑ 1 2 Montgomery R. ¿Una nueva solución al problema de los tres cuerpos? Avisos de la AMS, mayo de 2001, 5 , v. 48
↑ Newton I. Principios matemáticos de la filosofía natural. M., Nauka, 1989, parte III . Fecha de acceso: 26 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 28 de noviembre de 2009. (indefinido)
↑ Poincaré A. Sobre el problema de los tres cuerpos y sobre las ecuaciones de la dinámica, Sobr. cit., volumen 1, pág. 357
↑ Brower D., Clemens J. Métodos de mecánica celeste. M., Mir, c. 223 . Consultado el 26 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 12 de octubre de 2011. (indefinido)