Radicales anidados

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En álgebra, un radical anidado es un radical contenido en otro radical. Por ejemplo

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },

o un ejemplo más complejo

{\sqrt[ {3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[ {3}]{4}}\ }}.

Los valores de todos los radicales anidados se denominan radicales- expresables .

Simplificación de radicales anidados

Algunos radicales anidados se pueden simplificar. Por ejemplo:

{\raíz cuadrada {3+2{\raíz cuadrada {2}}}}=1+{\raíz cuadrada {2}}\,,

{\sqrt[ {3}]{{\sqrt[ {3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[ {3}]{2}}+{\sqrt[ { 3}]{4))}{{\sqrt[ {3}]{9))))\,.

En general, la simplificación es un problema difícil, si es que es posible. La siguiente fórmula permite una simplificación cuando es racional: $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c))$

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {\frac {a+R}{2))}\pm {\sqrt {\frac {aR}{2 }}}.

Por ejemplo,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2))))}={\sqrt {\frac {a+b}{2))}\pm {\ sqrt {\frac {ab}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

En particular, para números complejos ( ): $c=-1$

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {\left|z\right|+a}{2))))+i\operatorname{sgn}(b){ \sqrt {{\frac {\izquierda|z\derecha|-a}{2))))\derecha),

dónde

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Radicales infinitamente anidados

Disposiciones generales

En algunos casos, los radicales infinitamente anidados pueden ser idénticos a algún número racional, por ejemplo, la expresión

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots )))))))))

es igual a 2. Para ver esto, elevemos al cuadrado ambos lados de la expresión y restemos 2:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots))))))=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

Obviamente, no puede ser el valor del radical original. $-una$

Casos triviales

Para raíz cuadrada: ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots ))))))))))))={\frac {b+ {\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
Para la raíz del grado $norte$ ${\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\ sqrt[ {n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$ donde es la solución de la ecuación . $X$ $x^{n}-bx-a=0$

Casos no triviales

Fórmula de Ramanujan : $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots ))))))))))$

Casos especiales

Proporción áurea : $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots )))))))))$
número de plástico : $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
Número pi : ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac { 1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

Enlaces

Weisstein, Eric W. Radicales anidados en Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Raíz cuadrada en Wolfram MathWorld .
Disminución de la profundidad de anidamiento de expresiones que involucran raíces cuadradas
Simplificar raíces cuadradas de raíces cuadradas