Expresibilidad en radicales

Expresibilidad en radicales significa la capacidad de expresar un número o función en términos de los números o funciones más simples extrayendo la raíz de un grado entero y operaciones aritméticas : suma , resta , multiplicación , división .

Para números

Definiciones primarias

Definición estándar

Se dice que un elemento de campo es expresable radicalmente sobre un subcampo de campo si existe una expresión algebraica que contiene como números sólo los elementos del campo cuyo valor es igual a . Si la raíz en el campo es una función de varios valores , se considera suficiente que el número sea igual a al menos uno de los posibles valores de la expresión algebraica . $a$ $F$ $GRAMO$ $F$ $GRAMO$ $a$ $F$ $a$

En otras palabras, el conjunto de números expresables en radicales consiste en el conjunto de valores de todas las expresiones racionales , sumas parciales de radicales de los valores de expresiones racionales y sumas parciales de radicales anidados de los valores de racionales . expresiones

Definición sin referencia al lenguaje formal de las matemáticas

Sea un subcampo del campo . Considere una cadena finita de campos anidados tal que y [nb 1] para cualquiera de a , donde es un número del campo tal que para algún número natural pertenece a . Se dice que un número es radicalmente expresable sobre un subcampo del campo si, para algunos , existen colecciones y para él tales que [1] . $GRAMO$ $F$ ${\displaystyle G_{0}\subconjunto G_{1}\subconjunto \puntos \subconjunto G_{s))$ $G_{0}=G$ $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ $i$ $una$ $s$ $\alpha_i$ $F$ $n_{i}$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {i} ^ {n_ {i}}}$ $G_{i-1}$ ${\ estilo de visualización a \ en F}$ $GRAMO$ $F$ $s$ $\alpha_i$ $n_{i}$ $a\in G_{s}$

Otras definiciones

Se dice que un número real es expresable en radicales reales si es expresable en radicales sobre un subcampo de números racionales en el campo de los números reales . En este caso, las raíces de un grado par en la expresión algebraica que toma un valor se pueden tomar solo de números no negativos , es decir, el valor de cualquier subexpresión de la expresión en cuestión debe tener una parte imaginaria cero. . $X$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$ $X$
Se dice que un número complejo (que también puede ser real ) es expresable en radicales complejos si es expresable en radicales sobre el subcampo de los números racionales del campo de los números complejos . Un número expresable en radicales reales siempre es expresable en radicales complejos. La ocurrencia primaria de números complejos en una expresión algebraica que toma el valor , sólo puede ocurrir debido a la extracción de una raíz de grado par de números negativos . Para simplificar el manejo de la ambigüedad de las raíces th en números complejos, se utilizan varios métodos para indicar cuál de las raíces es necesaria para obtener un número dado: por ejemplo, las raíces complejas de la unidad , que son constantes importantes, se numeran explícitamente en sentido contrario a las agujas del reloj. en el plano complejo estándar , a partir de la propia unidad. $z$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {C}$ $z$ $norte$
Se dice que un elemento de un campo es expresable en radicales de grado sobre un subcuerpo del campo si alguna expresión algebraica con números de , cuyo valor es igual a , de raíces posibles contiene sólo raíces de grado . En particular, cuando un número se denomina expresable en radicales cuadrados , y cuando se expresa en radicales cúbicos . Las combinaciones también son posibles: por ejemplo, los números y son expresables en radicales cuadrados y cúbicos sobre el campo de los números racionales . La definición, que no va más allá del alcance del lenguaje formal estándar , tiene la siguiente forma: se dice que un elemento de campo es expresable en radicales de grado sobre un subcampo de campo si es expresable en radicales sobre un campo y todos los involucrados en el definición de expresibilidad radical para dado arriba son iguales [1] . $a$ $F$ $norte$ $GRAMO$ $F$ $GRAMO$ $a$ $norte$ $n=2$ $a$ $n=3$ ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2))))$ ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ $\matemáticas {Q}$ $a$ $F$ $norte$ $GRAMO$ $F$ $GRAMO$ $n_{i}$ $a$ $norte$
Un número expresable en radicales cuadrados reales se llama construible real [2] .
Sea un campo . Entonces el campo [nb 2] , donde y , se llama una extensión radical del campo [3] . Así, en la cadena de campos construida arriba, cada uno de los siguientes es una extensión radical del anterior. En el caso, el campo especificado se denomina extensión cuadrática del campo , es decir, el número expresado en radicales cuadrados pertenece al siguiente campo en la cadena de extensiones cuadráticas del subcampo original [4] . $k$ $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $a \ en K$ ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$ $k$ ${\displaystyle G_{0}\subconjunto G_{1}\subconjunto \puntos \subconjunto G_{s))$ $n=2$ $k$
Un número expresable en radicales se llama expresable en radicales $norte$ , si entre todas las expresiones algebraicas iguales a él, el número mínimo de raíces en ellas es [5] . $norte$

Ejemplos

El número es expresable en radicales cuadrados reales , es decir, es real construible . A su vez, es expresable en radicales reales de cualquier grado de la forma , donde es un número natural, ya que . ${\ estilo de visualización {\ sqrt {3+{\ sqrt {8))))}$ $2^{n}$ $norte$ ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))={\sqrt[{2^{n))]({\Big (}3+{\sqrt[{2^{n)) ]{8^{2^{n-1)))){\Grande)}^{2^{n-1))))$
El número también a primera vista parece ser expresable solo en radicales de cualquier grado de la forma , pero de hecho es expresable en radicales de cualquier grado y de cualquier tipo , ya que para cualquier . ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))$ $2^{n}$ ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))=4={\sqrt[{n}]{4^{n }}}$ $norte$
No siempre es posible determinar inmediatamente un mínimo tal que el número en consideración sea expresable en términos de radicales , ya que el número que puede expresarse en términos de dos radicales cuadrados es en realidad igual y es expresable en términos de un radical cuadrado . $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {17+{\ sqrt {288}}}}}$ ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3 +{\raíz cuadrada {8}}$
Para ver más ejemplos similares, consulte el artículo Radicales anidados .
El número es expresable en radicales sobre el subcuerpo del campo , ya que la única raíz de grado par en esta expresión algebraica se extrae de un número no negativo , pero no es expresable en radicales reales , ya que . A diferencia de los párrafos anteriores, en este caso podemos hablar de la propiedad negativa del número considerado en base a su notación específica, ya que, suponiendo que es expresable en radicales reales , fácilmente obtendríamos una expresión algebraica para , que no no existen debido a la trascendencia de estos números (ver sección Propiedades generales ). ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} (\ pi)}$ $\matemáticas {R}$ $\Pi$ $\pi \notin \mathbb {Q}$ $\Pi$

Explicaciones

Expresibilidad en radicales con respecto a un número real, sin otras salvedades en la literatura, suele significar expresibilidad en radicales complejos .

Para funciones , polinomios y ecuaciones

Definiciones primarias

Definición estándar

Una función que toma valores en un campo y depende de un cierto número de parámetros se dice que es expresable en radicales sobre un subcampo del campo si existe una expresión algebraica que contiene solo los elementos del campo y los parámetros indicados como números, cuyo valor coincide con el valor de cualquier valor admisible de estos parámetros [6] . $F$ $F$ $GRAMO$ $F$ $GRAMO$ $F$

Definición sin referencia al lenguaje formal de las matemáticas

Sea un subcampo del campo . Considere tal cadena finita de campos anidados , cuyos elementos son funciones desde (posiblemente, sin varios puntos para evitar la división por cero) hasta , que consta de todas las funciones racionales sobre , y [nb 3] para cualquier desde hasta , donde es tal función continua sobre , que para algún natural la función pertenece a . Se dice que una función es expresable en radicales sobre un subcuerpo del campo si, para alguna , existen tales colecciones para ella y , que . $GRAMO$ $F$ ${\displaystyle K_{0}\subconjunto K_{1}\subconjunto \puntos \subconjunto K_{s))$ $F$ $F$ $K_{0}$ $GRAMO$ $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ $i$ $una$ $s$ $f_{i}$ $F$ $n_{i}$ $f_{i}^{n_{i))$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}}$ $f\dos puntos F\to F$ $GRAMO$ $F$ $s$ $f_{i}$ $n_{i}$ ${\ Displaystyle f \ en K_ {s}}$

Otras definiciones

Una función multivaluada se llama radicalmente expresable sobre un subcampo si todas las funciones de un solo valor extraídas de ella también son expresables en radicales sobre un subcampo . $F$ $GRAMO$ $GRAMO$
Un polinomio en una variable, que depende de un cierto número de parámetros (que determinan algunos de sus coeficientes), se llama resoluble en radicales , si una función continua y, posiblemente, multivaluada es expresable en radicales , coincidiendo con el conjunto de valores de los parámetros. u200b\u200bcon el correspondiente conjunto de raíces polinómicas .
Una ecuación algebraica se dice resoluble en radicales si podemos resolver en radicales un polinomio que es igual a cero en esta ecuación [4] [7] .
Las funciones y los polinomios están sujetos a todas las restricciones sobre la definición de expresabilidad y resolubilidad en radicales , respectivamente, indicadas anteriormente . Por ejemplo, una función definida como sobre toda la línea real es expresable en radicales cuadrados complejos . $f\colon \mathbb {R} \a \mathbb {R}$ $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x))))$

Ejemplos

Una función de varios valores , es expresable en radicales , ya que las seis funciones de un solo valor extraídas de ella satisfacen la condición , donde es una expresión algebraica que usa solo una variable que actúa como argumento de la función y números complejos. $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ $g(x)$ $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$
El polinomio es resoluble en radicales cuadrados complejos , ya que para cualquiera sus raíces están dadas por la función . Sin embargo, este polinomio puede resolverse en radicales reales solo bajo la restricción de que el número pertenece al conjunto de números no positivos. $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ $a$ $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$ $a$

Explicaciones

En el caso de una función compleja sin especificación del subcampo , generalmente se asume que es igual al mismo conjunto de números complejos . $GRAMO$ $\matemáticas {C}$
Es importante notar el hecho de que la expresabilidad en los radicales de una función y la expresabilidad en los radicales de la imagen de cada elemento cuando se usa no son equivalentes: por ejemplo, una función que satisface la segunda condición puede no ser continua , mientras que este requisito es obligatorio para aquél que cumpla la primera condición. $\matemáticas {R}$

Propiedades generales

Los conjuntos de números expresables en radicales y funciones expresables en radicales son campos que contienen los campos sobre los que son expresables en radicales como subcampos.
Cualquier número complejo expresable en radicales es algebraico , pero no todo número algebraico es expresable en radicales. La primera afirmación se deriva de la naturaleza algebraica de los números racionales y del hecho de que el conjunto de números algebraicos es un campo (en cada paso de la transición de a en la definición de un número expresable en radicales, los números algebraicos generan solo números algebraicos ). La segunda afirmación se deriva del siguiente teorema sobre la existencia de una ecuación de grado con coeficientes enteros, al menos una de cuyas raíces es inexpresable en radicales. De manera similar, cualquier función expresable en radicales es algebraica , mientras que no todas las funciones algebraicas son expresables en radicales. En otras palabras, el campo de los números algebraicos contiene el campo de los números expresables en radicales, y el campo de las funciones algebraicas contiene el campo de las funciones expresables en radicales, pero lo contrario no es cierto. $G_{i-1}$ $Soldado americano}$ $5$
Cualquier función expresable en radicales toma en sí mismos los conjuntos de números expresables en radicales, números algebraicos y números trascendentales sobre el mismo campo. Si el argumento de una función de varios valores expresable en radicales consiste enteramente en los números de uno de estos conjuntos, la imagen también cae en él. Sin embargo, solo los dos últimos conjuntos son siempre imágenes completas de sí mismos. Puede obtener un número expresable en radicales, obtenido aplicando una función expresable en radicales solo a números inexpresables en radicales, de la siguiente manera: tome un polinomio de grado con coeficientes enteros, ninguna de cuyas raíces es expresable en radicales y cuyo término libre no es igual a cero (por el teorema de Kronecker , descrito a continuación, ya que tal polinomio puede ser adecuado, por ejemplo, [2] ). Entonces, una función dada por tal polinomio sin un término libre toma un valor igual solo en las raíces de este polinomio, que son inexpresables en radicales, mientras que el término libre en sí mismo es un número entero y, obviamente, puede expresarse en cualquier radical. $5$ ${\ estilo de visualización x^{5}-4x+2}$

Teoremas geométricos y trigonométricos

El teorema principal de la teoría de las construcciones geométricas : si hay un segmento de longitud en el plano , construimos un segmento de longitud con un compás y una regla si y solo si el número es real construible (es decir, se puede expresar en radicales cuadrados reales) [2] [1] [8] [9] . Esto implica la imposibilidad de cuadrar el círculo y doblar el cubo con compás y regla, ya que como resultado se obtendrán números reales no construibles y respectivamente [1] . $una$ $X$ $X$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ pi))}$ ${\raíz cuadrada[ {3}]{2}}$
En una forma más general, el teorema considerado anteriormente suena así: para segmentos de longitud dados , se puede construir un segmento de longitud con un compás y una regla si y solo si [1] . ${\displaystyle a_{1},a_{1},\puntos,a_{n))$ $a$ $a\en \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots,a_{n})$
Teorema de Gauss : Un número es real construible si y sólo si , donde todos son primos de Fermat distintos por pares . De este teorema, en particular, se sigue que el número no es real construible, es decir, es imposible dibujar una trisección del ángulo con un compás y una regla , y por lo tanto un ángulo arbitrario [2] [1] . De manera similar, se prueba la imposibilidad de dividir un ángulo arbitrario en cualquier número de partes iguales que no sean una potencia de dos: si tal división fuera posible, entonces sería posible construir ángulos de la forma , que solo es posible para . ${\displaystyle \cos {\Grande (}{\frac {2\pi}}{\Grande)))$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\puntos p_{k))$ $Pi}$ ${\displaystyle \cos {\Grande (}{\frac {2\pi}}{9}}{\Grande)))$ ${\displaystyle \cos {\Grande (}{\frac {2\pi}}{3}}{\Grande)))$ ${\ estilo de visualización {\ frac {2 \ pi} {a ^ {2}}}}$ ${\ estilo de visualización a = 2 ^ {k}}$

En el artículo Constantes trigonométricas se proporciona una lista de expresiones algebraicas para funciones trigonométricas de algunos ángulos . Un resultado secundario del teorema considerado es que los valores de las funciones trigonométricas en un ángulo que es un número entero de grados se expresan en radicales si y solo si este número es divisible por .

3

El teorema de Gauss-Wanzel también se deriva inmediatamente del teorema de Gauss anterior y establece que un -gon regular se puede construir con un compás y una regla si y solo si, donde todos son primos de Fermat distintos por pares, es decir, si y solo si el coseno de su ángulo central iguala , construimos real [2] [9] [4] . $norte$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\puntos p_{k))$ $Pi}$ ${\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )$
A pesar de los hechos anteriores, el coseno de cualquier ángulo que sea múltiplo de , podemos expresarlo en radicales complejos, ya que , donde es la segunda raíz de la unidad en la numeración estándar después de la unidad misma, y el número se expresa mediante o usando Chebyshev polinomios _ Sin embargo, aun en los casos en que el coseno de un ángulo dado sea expresable sólo en radicales complejos de grado arbitrario, pero no en cuadrados reales, el grado mínimo de radicales de la expresión correspondiente no es necesariamente igual a : por ejemplo , que es decir, este número es expresable en radicales cuadrados y cúbicos (en este caso para obtener el valor correcto entre los nueve posibles, se deben tomar los valores de las raíces cúbicas con la mayor parte real). ${\ estilo de visualización \ pi \, (\ mathrm {rad})}$ ${\displaystyle \cos {\Grande (}{\frac {2\pi }{n}}{\Grande)}={\frac {1}{2}}{\Grande (}u_{2}+{\ fracción {1}{u_{2}}}{\Grande)))$ ${\ Displaystyle tu_ {2}}$ ${\displaystyle \cos {\Grande (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Grande)))$ ${\displaystyle \cos {\Grande (}{\frac {2\pi}}{\Grande)))$ $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi {n}}{\Grande))))}$ $norte$ $\cos {\Grande (}{\frac {2\pi }{7}}{\Grande)}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3 }]{\frac{7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2 }}}\Correcto)$

Teoremas de funciones

El grupo de Galois de una función expresada en radicales complejos es solucionable [6] . (En este caso, el "grupo de Galois de una función" significa el grupo de permutaciones de hojas de la superficie de Riemann de una función generada por permutaciones de anillos alrededor de los puntos de ramificación de esta superficie).
La derivada de una función expresada en radicales también se expresa en radicales, ya que las derivadas de todas las operaciones aritméticas permitidas en expresiones algebraicas aplicadas a funciones son expresiones algebraicas utilizando únicamente los valores de estas funciones y, en el caso de la raíz , su grado, como variables:

\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2))

{\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1))))}

Sin embargo, lo contrario no es cierto: por ejemplo, las derivadas de funciones trigonométricas inversas son expresables en radicales sobre , mientras que las propias funciones trigonométricas inversas son funciones trascendentales , es decir, no son algebraicas (y cualquier función expresable en radicales, como se mencionó arriba , es algebraico): $\matemáticas {Q}$

\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

\operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

Teoremas de polinomios

Un polinomio es soluble en radicales si y sólo si su grupo de Galois es generalmente soluble [10] .
Teorema de Kronecker : al menos una de las raíces de una ecuación de grado primo irreducible en números racionales con coeficientes enteros puede expresarse en radicales como un número solo si entre ellos exactamente uno o exactamente real [2] [3] . A partir de esto, al construir un polinomio de grado irreducible con coeficientes enteros y tres raíces reales (puede servir un ejemplo de tal polinomio ), se deriva instantáneamente un caso especial del siguiente teorema para el campo de los números racionales : $norte$ $norte$ $5$ ${\ estilo de visualización x^{5}-4x-2}$ $\matemáticas {Q}$
El teorema de Abel-Ruffini , que establece que las ecuaciones de cualquier grado no menor que, con coeficientes enteros, no son resolubles en radicales en forma general (es decir, cuandotodos sus coeficientes están parametrizados ). $5$
Sin embargo, las ecuaciones con coeficientes enteros de grado hasta e inclusive son solucionables (ver Ecuación lineal , Ecuación cuadrática , Ecuación cúbica , Ecuación de cuarto grado ). Al mismo tiempo, las ecuaciones lineales se pueden resolver sin el uso de radicales, cuadrados, solo con el uso de radicales cuadrados (y con raíces reales también reales), cúbicas y de cuarto grado, solo con el uso de cuadrados reales y radicales cúbicos complejos. [2] [5] . Además, como puede verse en las fórmulas para resolver todas estas ecuaciones (para y potencias, véase la fórmula de Cardano y la fórmula de Ferrari ), son resolubles incluso en el campo de los números racionales . $cuatro$ $3$ $cuatro$

Fórmulas para resolver ecuaciones de grados , ,

una

2

3

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$ .
$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))$
Una de las soluciones a la ecuación es , donde y (debe tomar tales valores de raíces cúbicas para que el número sea igual a su producto). Al sacar un factor con esta raíz, la ecuación cúbica se transforma en el producto de una ecuación lineal y una cuadrática, cuyas soluciones se dan arriba. $hacha^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt ({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\raíz cuadrada[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\raíz cuadrada {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$ $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ $q={\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ $-{\frac{p}{3}}$

Fórmula completa para una de las soluciones de la ecuación de grado

3

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}- {\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^ {2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a ^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+ {\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^ {3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a }}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

Las fórmulas para el título completo son demasiado engorrosas. $cuatro$

Una clase más estrecha de ecuaciones, llamadas ecuaciones recíprocas , se pueden resolver en radicales hasta el grado inclusive. Los polinomios recurrentes de grado impar tienen la forma y se representan como el producto de un paréntesis y alguna ecuación recurrente de grado par, y a su vez queda así: grado . De acuerdo con el teorema de Abel-Ruffini anterior, tal ecuación es resoluble en radicales hasta , por lo tanto, la ecuación recíproca es resoluble en radicales hasta el grado [11] . $9$ $2n+1$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ ${\ estilo de visualización (x + \ lambda)}$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda,a_{0}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Grande (}a_{nk}{\Grande (}x^{k}+{\Grande (}{\frac {\ lambda {x}}{\Grande)}^{k}{\Grande)}{\Grande)))$ ${\displaystyle {\Grande (}x+{\frac {\lambda}{x}}{\Grande)))$ $norte$ $n=4$ $2\cdot 4+1=9$
También es fácil comprobar por inducción sobre que los polinomios de la forma , donde a lo sumo son polinomios de grado , son resolubles en radicales en la forma general . Un caso especial de la forma , donde es un polinomio de grado, se llama ecuación bicuadrática y, al estar escrita en la forma , tiene cuatro raíces iguales a . $norte$ $P_{1}(P_{2}(\puntos P_{n}(x)\puntos ))$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\puntos P_{n))$ $cuatro$ $P(x^{2})$ $PAGS$ $2$ $hacha^{4}+bx^{2}+c$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))))$
Sea un polinomio irreducible sobre el campo , y sea su campo de descomposición . Un polinomio se puede resolver en radicales cuadrados si y solo si (es decir, la dimensión como un espacio lineal sobre un campo es igual a para algunos naturales ) [1] . $f(x)$ $k$ $L$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización \ dim _ {K} L = 2 ^ {n}}$ $L$ $k$ $2^{n}$ $norte$

Origen del término

Por " radicales " en todas las frases consideradas, nos referimos a las raíces matemáticas de un grado entero ; esta palabra proviene de la palabra latina "radix" , que, entre otras cosas, tiene el mismo significado. Dado que las operaciones de suma y multiplicación , junto con sus inversas, también permitidas en expresiones algebraicas , se definen formalmente antes que la exponenciación, y por lo tanto la raíz, es la raíz, como operación "extrema" permisible, la que aparece en el nombre de la propiedad.

Notas al pie

↑ Aquí la entrada denota la extensión mínima del campo que contiene el elemento , es decir, la intersección de todas las extensiones que lo contienen . $G_{i-1}(\alpha _{i})$ $G_{i-1}$ $\alpha_i$ $G_{i-1}$
↑ Aquí la entrada denota la extensión mínima del campo que contiene el elemento , es decir, la intersección de todas las extensiones que lo contienen . $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $k$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $k$
↑ Aquí la entrada denota la extensión mínima del campo que contiene el elemento , es decir, la intersección de todas las extensiones que lo contienen . $K_{i-1}(f_{i})$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}}$ $f_{i}$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}}$

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 E. Bunina "Polinomios separables. Grupo de Galois. Expresibilidad en radicales. Problemas de construcción irresolubles". . Consultado el 5 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 22 de septiembre de 2018. (indefinido)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 A. Skopenkov "Algunas demostraciones más del Libro: solucionabilidad e insolubilidad de ecuaciones en radicales" . Consultado el 5 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 20 de enero de 2021. (indefinido)
↑ 1 2 V.Tikhomirov "Abel y su gran teorema" (revista Kvant, 2003, enero) . Consultado el 5 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 20 de enero de 2022. (indefinido)
↑ 1 2 3 Kulikov L. Ya. "Álgebra y Teoría de Números. Libro de Texto para Institutos Pedagógicos"
↑ 1 2 "Resolver ecuaciones usando un radical" (Conferencia de verano del Torneo de Ciudades) . Consultado el 5 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 20 de enero de 2022. (indefinido)
↑ 1 2 Alekseev V.B. "Teorema de Abel en Problemas y Soluciones" . Consultado el 5 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2020. (indefinido)
↑ Resolución de ecuaciones en radicales (Entorno interactivo de información y consulta) . Consultado el 5 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 10 de agosto de 2016. (indefinido)
↑ A. Adler "Teoría de las construcciones geométricas" (enlace inaccesible) . Consultado el 5 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 27 de mayo de 2020. (indefinido)
↑ 1 2 M. Balandin "Introducción a las construcciones con compás y regla"
↑ Conferencia en la Escuela Superior de Economía . Consultado el 17 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2017. (indefinido)
↑ S. N. Olechnik, MK Potapov, P. I. Pasichenko. "Álgebra y los inicios del análisis. Ecuaciones y desigualdades"

Expresibilidad en radicales

Para números

Definiciones primarias

Otras definiciones

Ejemplos

Explicaciones

Para funciones , polinomios y ecuaciones

Definiciones primarias

Otras definiciones

Ejemplos

Explicaciones

Propiedades generales

Teoremas geométricos y trigonométricos

Teoremas de funciones

Teoremas de polinomios

Origen del término

Notas al pie

Notas

Literatura