El principio de los posibles movimientos.

El principio de los posibles desplazamientos es uno de los principios variacionales de la mecánica teórica , que establece la condición general de equilibrio de un sistema mecánico . De acuerdo con este principio, para el equilibrio de un sistema mecánico con restricciones ideales , es necesario y suficiente que la suma de los trabajos virtuales de solo fuerzas activas sobre cualquier posible desplazamiento del sistema sea igual a cero (si el sistema se lleva a esta posición con velocidades cero). $Ai}$

El número de ecuaciones de equilibrio linealmente independientes que se pueden compilar para un sistema mecánico, basado en el principio de los posibles desplazamientos, es igual al número de grados de libertad de este sistema mecánico.

Los desplazamientos posibles de un sistema mecánico no libre son desplazamientos infinitesimales imaginarios permitidos en un momento dado por restricciones impuestas al sistema (en este caso, se considera fijo el tiempo incluido explícitamente en las ecuaciones de restricciones no estacionarias). Las proyecciones de posibles desplazamientos sobre ejes de coordenadas cartesianas se denominan variaciones de coordenadas cartesianas.

Si, por ejemplo, se imponen restricciones reonómicas holonómicas al sistema: $yo$

f_{{\alpha }}({\vec r},t)=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

Entonces los posibles desplazamientos son aquellos que satisfacen $\Delta {\vec r}$

\sum _{{i=1}}^{{N}}{\frac {\parcial f_{{\alpha }}}{\parcial {\vec {r}}}}\cdot \Delta {\vec { r))+{\frac {\parcial f_{{\alpha ))}{\parcial t))\Delta t=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

Y los virtuales : $\delta {\vec r}$

\sum _{i=1}^{N}{\frac {\parcial f_{\alpha )){\parcial {\vec {r))))\delta {\vec {r))=0 ,\quad \alpha ={\overline {1,l))

Los desplazamientos virtuales, en términos generales, no tienen nada que ver con el proceso de movimiento del sistema: se introducen solo para revelar las relaciones de fuerzas existentes en el sistema y obtener condiciones de equilibrio. La pequeñez de los desplazamientos es necesaria para poder considerar las reacciones de los enlaces ideales como sin cambios.

El principio de los desplazamientos virtuales

De acuerdo con este principio: para el equilibrio de un sistema mecánico, en cuyos puntos se imponen enlaces ideales de mantenimiento estacionarios, es necesario y suficiente que la suma del trabajo virtual de todas las fuerzas activas aplicadas a los puntos del sistema, para cualquier desplazamiento virtual del sistema, ser igual a cero [1] . Se supone que las fuerzas de reacción de enlace (inactivas) no realizan trabajo debido al postulado de idealidad de enlace. Los desplazamientos virtuales se denominan desplazamientos infinitesimales permitidos por conexiones, con "tiempo congelado". Es decir, difieren de los posibles desplazamientos solo cuando los enlaces son reonómicos (explícitamente dependientes del tiempo). Matemáticamente, esto se puede escribir como

\delta A=\sum _{i=1}^{n}{\textbf {F}}_{i}\cdot \delta {\textbf {r}}_{i}=0

Consideremos dos barras de longitud 2l articuladas en el punto B, colocadas sobre un cilindro de radio r (ver Fig. 1). Calculemos la distancia z en función de la coordenada generalizada φ [2]

z=AB-OB=l\cos {\phi }-{\frac {r}{\sin {\phi ))}\,

y el trabajo virtual se obtendrá de la variación δ z

\delta A=2P\delta z=2P\left(-l\sin {\phi }+{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}} \right)\delta \phi =0\,.

Esta igualdad debe cumplirse para todo lo posible , de lo cual obtenemos la ecuación para determinar el ángulo : ${\ estilo de visualización \ delta \ phi}$ $\fi$

{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}}-l\sin {\phi }=0\,.

Notas

↑ Belénky, 1964 , pág. 31
↑ Belénky, 1964 , pág. 35.

Literatura

Belenky I. M. Introducción a la mecánica analítica. - M.: Superior. escuela, 1964. - 324 p.
Bukhgolts N. N. El curso principal de mecánica teórica. Parte 1. 10ª ed. - San Petersburgo. : Lan, 2009. - 480 p. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica: un libro de texto para universidades. 18ª edición - M. : Escuela superior, 2010. - 416 p. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
Markeev A.P. Mecánica teórica: un libro de texto para universidades. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", 2001. - 592 p. — ISBN 5-93972-088-9 .