Grados de libertad (mecánica)

Los grados de libertad en mecánica son un conjunto de coordenadas independientes de desplazamiento y/o rotación que determina completamente la posición de un sistema o cuerpo (y junto con sus derivadas temporales - las velocidades correspondientes - determina completamente el estado de un sistema o cuerpo mecánico, es decir, su posición y movimiento).

Este concepto fundamental se utiliza en mecánica teórica , teoría de mecanismos y máquinas , ingeniería mecánica , aviación y teoría de aeronaves, robótica .

A diferencia de las coordenadas cartesianas ordinarias o de algún otro tipo, estas coordenadas generalmente se denominan coordenadas generalizadas ( las coordenadas cartesianas , polares o algunas otras específicas son, por lo tanto, un caso especial de las generalizadas). De hecho, estamos hablando del conjunto mínimo de números que determina completamente la posición actual (configuración) de este sistema.

El requisito de que este conjunto sea mínimo o independiente de coordenadas significa que se entiende un conjunto de coordenadas necesario para describir la posición del sistema solo con posibles movimientos (por ejemplo, si se considera un péndulo matemático , se entiende que su longitud no puede cambiar, y por lo tanto la coordenada que caracteriza la distancia de la carga al punto de suspensión, no es su grado de libertad, ya que no puede cambiar - es decir, el número de grados de libertad de un péndulo matemático en el espacio es 2, y el mismo péndulo, que sólo puede moverse en un plano, es 1. Corresponden a los ángulos de desviación del péndulo de la vertical).

En el caso de que se considere un sistema con restricciones (más precisamente, con restricciones ), el número de grados de libertad del sistema mecánico es menor que el número de coordenadas cartesianas de todos los puntos materiales del sistema, a saber:

n=3N-n_{{enlace}},

donde es el número de grados de libertad,

norte

norte

es el número de puntos materiales del sistema,

n_{\text{enlace}}

- el número de bonos de tenencia, a excepción de los redundantes [Comm. 1] .

El número de grados de libertad depende no solo de la naturaleza del sistema real, sino también del modelo (aproximación) dentro del cual se estudia el sistema. Incluso en la aproximación de la mecánica clásica (en la que generalmente se escribe este artículo), si nos negamos a utilizar más aproximaciones que simplifiquen el problema, el número de grados de libertad de cualquier sistema macroscópico resultará enorme. Dado que los enlaces no son absolutamente rígidos (es decir, de hecho, solo pueden considerarse enlaces dentro del marco de una cierta aproximación), el número real de grados de libertad de un sistema mecánico puede estimarse al menos como un número triple de átomos (y en la aproximación continua, como infinito). Sin embargo, en la práctica se utilizan aproximaciones que permiten simplificar radicalmente el problema y reducir el número de grados de libertad al considerar un sistema, por lo que en los cálculos prácticos el número de grados de libertad es finito, generalmente bastante pequeño. número.

Así, la aproximación de cuerpo absolutamente rígido , que es un ejemplo de una conexión rígida impuesta en cada par de puntos materiales del cuerpo, reduce el número de grados de libertad de un cuerpo rígido a 6. Considerando sistemas que consisten en un pequeño número de puntos rígidos cuerpos considerados en esta aproximación, tienen por lo tanto un pequeño número de grados de libertad, además, probablemente reducido por la imposición de restricciones adicionales (correspondientes a bisagras, etc.) [Comm. 2] .

El número de grados de libertad de los mecanismos puede ser tanto constante como variable [1] .

Ejemplos

Un cuerpo rígido que se mueve en un espacio tridimensional puede tener un máximo de seis grados de libertad: tres de traslación y tres de rotación.
El automóvil, si se considera como un cuerpo rígido, se mueve a lo largo de un plano, o más bien, a lo largo de cierta superficie bidimensional (en un espacio bidimensional). Tiene dos grados de libertad (uno de rotación y otro de traslación).
El tren se ve obligado a moverse a lo largo de la vía y, por lo tanto, solo tiene un grado de libertad.

Grados de libertad en espacios de dimensiones superiores

En el caso general, un cuerpo rígido en el espacio de medidas tiene grados de libertad ( traslacional y rotacional). $d$ $d+{\frac {d(d-1)}{2))$ $d$ ${\frac{d(d-1)}{2))$

Sólidos. Cuerpos deformables

Los cuerpos elásticos o deformables se pueden considerar como un sistema de muchas partículas más pequeñas (un número infinito de grados de libertad), en cuyo caso a menudo se considera que el sistema tiene aproximadamente un número limitado de grados de libertad.

Si el objeto principal de análisis es un movimiento que provoca grandes desplazamientos, entonces, para simplificar los cálculos, el cuerpo deformable se considera aproximadamente como un cuerpo absolutamente rígido y, a veces, como un punto material. Por ejemplo, si se estudia el movimiento de una parte de un mecanismo que realiza desplazamientos significativos, es posible en la aproximación principal (y con buena precisión) considerar la parte como un cuerpo absolutamente rígido (si es necesario, entonces, cuando la principal ya se ha calculado el movimiento, las correcciones asociadas con sus pequeñas deformaciones), especialmente esto es cierto si, por ejemplo, se investiga el movimiento de los satélites a lo largo de la órbita, y si no se considera la orientación del satélite, entonces es suficiente considerarlo como un punto material, es decir, restringir la descripción del satélite a tres grados de libertad.

Sistemas corporales

Un sistema de varios cuerpos puede tener en general tal número de grados de libertad, que es la suma de los grados de libertad de los cuerpos que componen el sistema, menos aquellos grados de libertad que están limitados por restricciones internas. Un mecanismo que contiene varios cuerpos conectados puede tener más grados de libertad que un cuerpo rígido libre. En este caso, el término "grados de libertad" se utiliza para referirse al número de parámetros necesarios para determinar con precisión la posición del mecanismo en el espacio.

La mayoría de los mecanismos tienen un número fijo de grados de libertad, pero son posibles casos de un número variable. El primer mecanismo con un número variable de grados de libertad fue inventado por el mecánico alemán W. Wunderlich en 1954 (ver Wunderlich, 1954 ) - un mecanismo plano de 12 eslabones y 2 bisagras fijas. Un mecanismo más simple con 9 eslabones fue inventado y descrito (ver Kovalev, 1994 ) por el matemático ruso Mikhail Kovalev [1] .

Un tipo específico de mecanismo es una cadena cinemática abierta , en la que los eslabones rígidos tienen articulaciones móviles capaces de proporcionar un grado de libertad (si se trata de una articulación articulada o deslizante), o dos grados de libertad (si se trata de una articulación cilíndrica). ). Tales cadenas se usan ampliamente en los mecanismos industriales modernos y en la producción.

La mano humana tiene 7 grados de libertad.

Un sistema mecánico que tiene 6 grados físicos de libertad se llama holonómico . Si el sistema tiene menos grados de libertad, entonces se llama no holonómico . Un sistema mecánico con más grados de libertad controlados que el número de grados de libertad físicos se llama redundante .

Determinación de los grados de libertad de los mecanismos

La mayoría de los mecanismos convencionales tienen un grado de libertad, es decir, hay un movimiento de entrada que determina un movimiento de salida. Además, la mayoría de los mecanismos son planos. Los mecanismos espaciales son más difíciles de calcular.

La fórmula de Chebyshev-Grabler-Kutzbach utiliza para calcular los grados de libertad de los

En su forma más simple, para mecanismos planos, esta fórmula tiene la forma:

{\ estilo de visualización m = 3 (n-1) -2f,}

donde está el número de grados de libertad;

metro

norte

- el número de eslabones del mecanismo (incluido un eslabón fijo - la base);

F

- el número de pares cinemáticos con un grado de libertad ( bucle o conexión deslizante ).

En una forma más general, la fórmula de Chebyshev - Grabler - Kutzbach para mecanismos planos que contienen conexiones de enlace más complejas:

m=3(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

O para un mecanismo espacial (un mecanismo que tiene un movimiento tridimensional):

m=6(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

donde está el número de grados de libertad;

metro

norte

- el número de eslabones del mecanismo (incluido un eslabón fijo - la base);

j

- el número total de conexiones móviles de enlaces, sin considerar el número de grados de libertad de estas conexiones;

{\ estilo de visualización \ suma _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i}}

- la suma de todos los grados de libertad de todas las juntas móviles (bisagras).

Accionamiento hidráulico

El número de grados de libertad en un sistema hidráulico puede determinarse simplemente contando el número de motores hidráulicos controlados independientemente .

Ingeniería eléctrica

En ingeniería eléctrica, el concepto de "grados de libertad" se utiliza a menudo para describir el número de direcciones en las que una antena de matriz en fase puede proyectar sus haces. Es uno menos que el número de elementos contenidos en la red.

El principio de los desplazamientos posibles

En mecánica teórica se conoce el principio de los posibles desplazamientos , que al igual que las ecuaciones de equilibrio de la estática, permite encontrar efectos de fuerzas externas actuando sobre un sistema mecánico. El número de ecuaciones compiladas sobre la base del principio de los desplazamientos posibles es igual al número de grados de libertad de un sistema mecánico dado.

Grados de libertad de una molécula

Artículo principal: Grados de libertad (física): Grados de libertad de una molécula

La fórmula para la energía interna de un gas:

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

, donde es el número de grados de libertad de una molécula de gas;

i

metro

es la masa de gas;

\mu

es la masa molar del gas;

R

es la constante universal de los gases ;

T

es la temperatura absoluta del gas, incluido el número de grados de libertad de la molécula.

Esta fórmula es importante para los cálculos, por ejemplo, motores de combustión interna .

Comentarios

↑ . Por ejemplo, si las distancias de un punto dado a tres puntos de un cuerpo absolutamente rígido son fijas, entonces fijar las distancias de este punto a otros puntos del mismo cuerpo rígido será redundante, ya que se guardarán automáticamente.
↑ . Sin embargo, debe tenerse en cuenta que, como cualquier modelo, este modelo impone un cierto precio real al usarlo: el modelo de cuerpo absolutamente rígido ignora por completo las vibraciones y la propagación de ondas en el cuerpo rígido al que se aplica. Sin embargo, como de costumbre, se puede utilizar como una aproximación cero, y las correcciones de refinación necesarias se pueden calcular por separado, y quizás esto se pueda hacer con menos precisión si son pequeñas.

Notas

↑ 1 2 Estudios matemáticos .

Literatura

Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. proc. para colegios técnicos - 10ª ed., revisada. y adicional - M.: Superior. shk., 1986.—416 p., il.
Buchholz N. N. El curso principal de mecánica teórica (primera parte). Editorial "Nauka", Edición principal de literatura física y matemática, M.: 1972, 468 páginas.
Wunderlich, W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe: [ alemán. ] // Osterreichisches Ingenieurarchiv. - 1954. - Bd. 8, H. 2/3. - S. 224-228.
Kovalev M.D. Teoría geométrica de los dispositivos articulados : [ arch. 5 de mayo de 2017 ] // Izvestiya RAN. Serie matemática. - 1994. - V. 58, No. 1. - S. 45–70. - CDU 514 + 531,8 .

Enlaces

Grados de libertad . Estudios Matemáticos . Recuperado: 26 julio 2019. (Ruso)