Ondas de Rayleigh

Las ondas de Rayleigh son ondas acústicas superficiales . Llevan el nombre de Rayleigh , quien teóricamente los predijo en 1885 [1] .

Descripción

Las ondas de Rayleigh se propagan cerca de la superficie de un cuerpo sólido. La velocidad de fase de tales ondas se dirige paralelamente a la superficie. Las partículas del medio en tal onda hacen un movimiento elíptico en el plano sagital (en el que se encuentran el vector de velocidad y la normal a la superficie). Las amplitudes de oscilación decaen con la distancia desde la superficie de acuerdo con las leyes exponenciales, y la energía de la onda se concentra en la región a una distancia del orden de una longitud de onda desde la superficie [2] .

Onda de Rayleigh en un cuerpo isotrópico

La ecuación de movimiento de un volumen infinitamente pequeño de un medio homogéneo, isotrópico e idealmente elástico con una densidad ρ se puede escribir como:

\rho\frac{\parcial^2 \textbf{U}}{\parcial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm {div}\textbf{U},

(una)

donde U es el desplazamiento de un volumen infinitamente pequeño con respecto a la posición de equilibrio, λ y μ son constantes elásticas , Δ es el operador de Laplace . Para una ecuación de onda dada, las soluciones se buscan en forma de superposición de desplazamientos transversales y longitudinales U = U t + U l , donde U l =grad φ y U t =rot ψ . φ y ψ son potenciales escalares y vectoriales. La ecuación ( 1 ) para nuevas incógnitas es una ecuación de onda para componentes de desplazamiento independientes [3] :

\rho\frac{\parcial^2 \textbf{U}_l}{\parcial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,

(2.1)

\rho\frac{\parcial^2 \textbf{U}_t}{\parcial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.

(2.2)

Si la onda se propaga a lo largo del eje x, entonces solo se pueden considerar las oscilaciones en el plano (x, z) para el caso isotrópico. Teniendo en cuenta la independencia de las componentes de y para una onda armónica plana, las ecuaciones de onda para los potenciales toman la forma:

\frac{\parcial^2 \phi}{\parcial x^2}+\frac{\parcial^2 \phi}{\parcial z^2}-k_l^2\frac{\parcial^2 \phi}{ \parcial t^2}=0,

(3.1)

\frac{\parcial^2 \psi}{\parcial x^2}+\frac{\parcial^2 \psi}{\parcial z^2}-k_t^2\frac{\parcial^2 \psi}{ \parcial t^2}=0,

(3.2)

donde están los números de onda para ondas longitudinales y transversales. Las soluciones de estas ecuaciones, si tomamos solo soluciones amortiguadas, se presentan en forma de ondas planas [4] : $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],

(4.1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],

(4.2)

donde ; ; ; A y B son constantes arbitrarias. Estas soluciones representan la solución general de la ecuación de onda para una onda amortiguada, y para encontrar una solución particular, es necesario establecer condiciones de contorno en la superficie del medio. $q^2=k^2-k_l^2$ $s^2=k^2-k_t^2$ $k^2>k_t^2>k_l^2$

Los componentes de desplazamiento se representan como:

U_x=\frac{\parcial \phi}{\parcial x}-\frac{\parcial \psi}{\parcial z},

(5.1)

U_z=\frac{\parcial \phi}{\parcial z}+\frac{\parcial \psi}{\parcial x}.

(5.1)

En el caso de un límite libre, los componentes del tensor de tensión toman valores cero:

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\parcial^2 \phi}{\parcial x^2}+\frac{\parcial^2 \phi}{\parcial z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\parcial^2 \phi}{\parcial z^2}-\frac{\parcial^2 \psi}{\parcial x\parcial z}\right)=0,

(6.1)

T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\parcial ^{2}\phi }{\parcial x\parcial z))+{\frac {\parcial ^{2}\psi } {\parcial x^{2))}-{\frac {\parcial ^{2}\psi }{\parcial z^{2))}\right)=0.

(6.2)

Después de sustituir las soluciones ( 4 ), obtenemos un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con respecto a las amplitudes A y B , que tiene una solución no trivial solo si el determinante del sistema es igual a cero ( ecuación de Rayleigh ), a saber [5 ] :

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,

(6)

donde , . Esta ecuación tiene una sola raíz relacionada con la onda de Rayleigh, que depende únicamente de la relación de Poisson ν: $\eta=k_t/k$ $\xi=k_l/k_t$

\eta_R=\frac{0.87+1.12\nu}{1+\nu}.

(7)

A partir de aquí, se encuentran los componentes de desplazamiento para la onda de Rayleigh [6] :

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[ i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],

(8.1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\ izquierda[i\izquierda(k_Rx-\omega t\derecha)\derecha].

(8.2)

Aplicaciones prácticas de las ondas tipo Rayleigh

Las ondas del tipo Rayleigh (ondas pseudo-Rayleigh) se utilizan con éxito en estudios sísmicos de ingeniería para estudiar los parámetros elásticos de rocas y suelos ubicados detrás del revestimiento de túneles [7] , hormigón armado, losas de hormigón, mampostería o pavimento [8] . En el caso de un aumento de las velocidades con la profundidad (por regla general, en estudios desde la superficie diurna), las velocidades de las ondas transversales en la capa inferior se determinan a partir de las curvas de dispersión de las ondas pseudo-Rayleigh (ver figura). Este método es ampliamente utilizado en la práctica y justificado desde el punto de vista de la teoría de la elasticidad.

Notas

↑ Señor Rayleigh. Sobre ondas propagadas a lo largo de la superficie plana de un sólido elástico // Proc . Matemáticas de Londres. soc. : diario. - 1885. - vol. s1-17 , núm. 1 . - Pág. 4-11 .
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. once.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. 7.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. ocho.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. 9.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. diez.
↑ Evaluación de las propiedades y condición de suelos detrás del revestimiento de túneles de transporte según tomografía sísmica 2D. Boyko O. V. (enlace inaccesible) . Consultado el 10 de julio de 2015. Archivado desde el original el 10 de julio de 2015. (indefinido)
↑ Determinación de las propiedades físicas y mecánicas y características de resistencia de suelos revestidos con mampostería, hormigón, estructuras de hormigón armado y pavimento. (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 10 de julio de 2015. Archivado desde el original el 9 de julio de 2015. (indefinido)

Literatura

Viktorov IA Ondas superficiales de sonido en sólidos. — M .: Nauka, 1981. — 287 p.

diccionarios y enciclopedias	gran chino Britannica (en línea)