Un conjunto muy limitado

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Se dice que un conjunto está completamente acotado si, para cualquier ε positivo, existe una red finita de ε para ese conjunto.

Notas

Los conceptos de acotación completa y acotación coinciden en el caso de espacios euclidianos de dimensión finita . De hecho, basta con tomar un cubo mínimo que contenga un conjunto acotado dado con lado . Luego, divídalo en cubos con lados . Los vértices de los cubos dan un ε-net finito, el ε deseado se logra aumentando . $\mathbb {R^{n}}$ $a$ $k^{n}$ ${\ estilo de visualización a/k}$ $k$
Si se introducen nuevas métricas en un espacio de dimensión finita, los conjuntos acotados pueden dejar de estar completamente acotados. Tal resultado, por ejemplo, viene dado por una métrica o una métrica discreta . $\mathbb {R^{n}}$ $d(x,y)=\min(1,\mid xy\mid )$
En un espacio de dimensión infinita, la limitación tampoco es completamente idéntica a la limitación. En la bola unitaria, se requiere un número infinito de bolas de radio ε<1 para cubrir puntos de la forma , . $l ^ 2$ $e_{i}=(0\puntos 0,1,0\puntos 0)$ $i\en \mathbb {N}$
En un espacio métrico completo, la acotación total implica precompacidad . Esta propiedad se requiere en la demostración del teorema de Arzela-Ascoli .
A veces, el término "completamente limitado" ( ing. totalmente acotado ) se confunde con el término "completamente limitado" ( ing. completamente acotado ). Este último está relacionado con los operadores lineales del análisis funcional cuántico.

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 106 pág.