Promedio temporal

El promedio temporal de una función a lo largo de la trayectoria de un sistema dinámico es el límite de los valores medios de Cesare de la función en los puntos de la trayectoria.

Consideremos un sistema dinámico con tiempo discreto dado por iteraciones del mapeo . Sea la función dada en el espacio de fases . La media temporal parcial de una función sobre la órbita de un punto sobre pasos es la media Cesar de los valores de la función en los puntos de la órbita: $f\dos puntos X\a X$ $X$ $\varphi \colon X\to \mathbb {R}$ $\varphi$ $X$ $norte$

{\bar {\varphi}}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\varphi \circ f^{ k}(x)

El promedio de tiempo es el límite de los promedios de tiempo parciales en : $n\to\infty$

{\bar {\varphi }}(x)=\lim _{n\to \infty }{\bar {\varphi }}^{n}=\lim _{n\to \infty}}{\ fracción {1}{n}}\sum _{k=0}\varphi \circ f^{k}(x)

Para un sistema con tiempo continuo, el promedio de tiempo se define de la siguiente manera. Deje que la transformación de flujo de fase esté dada por la función . Entonces el promedio de tiempo se define como un límite de la siguiente forma: $f(\cdot ;t)\dos puntos X\a X$

{\bar {\varphi }}(x)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int_{0}^{T}\varphi \circ f (x;t)\,dt

Uno de los resultados importantes de la teoría ergódica es la igualdad de los promedios temporales y espaciales (es decir, la integral sobre el espacio) de funciones continuas para casi todas las trayectorias de los sistemas ergódicos.

El ejemplo de Bowen da un ejemplo de un sistema en el que una función continua típica no tiene promedios de tiempo para casi todas las condiciones iniciales.

Enlaces

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos con una revisión de los logros recientes / Per. De inglés. edición A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .