Solución de viscosidad

Una solución viscosa es un cierto tipo de solución débil a una ecuación diferencial parcial , o más bien una ecuación elíptica degenerada.

Definiciones

Ecuación elíptica degenerada

Ecuación diferencial parcial

F(x,u,Du,D^{2}u)=0

dada en el dominio , es elíptica degenerada si para cualesquiera dos matrices simétricas y tales que su diferencia es definida positiva , y cualquier valor de , y la desigualdad $\Omega \subconjunto \mathbb {R} ^{n}$ $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización YX}$ ${\ estilo de visualización x \ en \ Omega}$ $u\en \matemáticas {R}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n))$

F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).

Ejemplos

Ecuación de Laplace ${\ estilo de visualización - \ Delta u = 0}$ .
Cualquier ecuación de primer orden .

Solución viscosa

Una función semicontinua superior definida en se denomina subsolución de viscosidad de esta ecuación si, para cualquier punto y cualquier función suave como en alguna vecindad de , se cumple la siguiente desigualdad: $tu$ $\Omega$ $x_{0}\en \Omega$ $\fi$ ${\ estilo de visualización \ phi (x_{0}) = u (x_ {0})}$ ${\ estilo de visualización \ phi \ geqslant u}$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.

De manera similar , una función semicontinua inferior definida en se denomina solución de viscosidad de esta ecuación si, para cualquier punto y cualquier función suave tal que y en alguna vecindad , se cumple la siguiente desigualdad : $tu$ $\Omega$ $x_{0}\en \Omega$ $\fi$ ${\ estilo de visualización \ phi (x_{0}) = u (x_ {0})}$ ${\ estilo de visualización \ phi \ leqslant u}$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.

Una función continua es una solución de viscosidad de una ecuación elíptica degenerada si es una subsolución y una sobresolución al mismo tiempo. $tu$

Historia

El término aparece por primera vez en el trabajo de Crandall y Lyons en 1983 [1] para soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi . La definición en realidad fue dada por Evans a principios de 1980. [2] La definición fue refinada en el trabajo conjunto de los tres. [3]

Enlaces

↑ Crandall, Michael G. & Lions, Pierre-Louis (1983), Soluciones de viscosidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi , Transactions of the American Mathematical Society, volumen 277 (1): 1–42, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/1999343
↑ Evans, Lawrence C. (1980), Sobre la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales mediante métodos de operadores acumulativos , Israel Journal of Mathematics T. 36 (3): 225–247, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF02762047
↑ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C. & Lions, Pierre-Louis (1984), Algunas propiedades de las soluciones de viscosidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi , Transactions of the American Mathematical Society, volumen 282 (2): 487–502, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307 /1999247

Literatura

T. A. Belkina, Yu. M. Kabanov. Soluciones de viscosidad de ecuaciones integro-diferenciales para la probabilidad de no ruina // TVP. - 2015. - T. 60 , N º 4 . — S. 802–810 . doi : 10.4213 / tvp5036 . (Ruso)