Ecuación de Hamilton-Jacobi

En física y matemáticas , la ecuación de Hamilton - Jacobi es una ecuación de la forma

H\left(q_{1},\dots,q_{n};{\frac {\parcial S}{\parcial q_{1))},\dots,{\frac {\parcial S}{ \parcial q_{n}}};t\right)+{\frac {\parcial S}{\parcial t}}=0.

Aquí S denota la acción clásica , es el hamiltoniano clásico y son coordenadas generalizadas. $H(q_{1},\puntos,q_{n};p_{1},\puntos,p_{n};t)$ $q_{yo}$

Directamente relacionado con la mecánica clásica (no cuántica), sin embargo, es muy adecuado para establecer una conexión entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica , ya que puede, por ejemplo, obtenerse casi directamente de la ecuación de Schrödinger en la aproximación de una oscilación rápida. función de onda (grandes frecuencias y números de onda).

En mecánica clásica, suele surgir de una transformación canónica especial del hamiltoniano clásico , que conduce a esta ecuación diferencial no lineal de primer orden , cuya solución describe el comportamiento de un sistema dinámico.

La ecuación de Hamilton-Jacobi debe distinguirse de las ecuaciones de movimiento de Hamilton y Euler-Lagrange . Aunque esta ecuación se deriva de ellos, es una sola ecuación que describe la dinámica de un sistema mecánico con cualquier número de grados de libertad s , en contraste con las ecuaciones de Hamilton de 2 s y las ecuaciones de Euler-Lagrange de s .

La ecuación de Hamilton-Jacobi ayuda a resolver el problema de Kepler con elegancia .

Conversión canónica

La ecuación de Hamilton-Jacobi se sigue inmediatamente del hecho de que para cualquier función generadora (despreciando los índices) las ecuaciones de movimiento toman la misma forma para y bajo la siguiente transformación: ${\ estilo de visualización S (q, p', t)}$ ${\ estilo de visualización H (q, p, t)}$ $H'(q',p',t)$

(1)\quad {\frac {\parcial S}{\parcial q}}=p,\quad {\frac {\parcial S}{\parcial p'}}=q',\quad H' =H+{\frac {\S parcial}{\t parcial)).

Las nuevas ecuaciones de movimiento se convierten en

(2)\quad {\frac {\parcial H'}{\parcial q'}}=-{\frac {dp'}{dt)),\quad {\frac {\parcial H'}{ \parcial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.

La ecuación de Hamilton-Jacobi surge de una función generadora específica S que hace que Hʹ sea idéntico a cero. En este caso, todos sus derivados se desvanecen, y

(3)\quad {\frac {dp'}{dt))={\frac {dq'}{dt))=0.

Por lo tanto, en un sistema de coordenadas primadas, el sistema es perfectamente estacionario en el espacio de fases . Sin embargo, aún no hemos determinado por qué función generadora S se logra la transformación al sistema de coordenadas primado. Usamos el hecho de que

H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\S parcial}{\t parcial))=0.

Como la ecuación (1) da , podemos escribir $p=\S parcial/\q parcial,$

H\left(q,{\frac {\parcial S}{\parcial q)),t\right)+{\frac {\parcial S}{\parcial t))=0,

que es la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Solución

La ecuación de Hamilton-Jacobi a menudo se resuelve mediante la separación de variables . Deje que alguna coordenada (para mayor precisión, hablaremos de ) y el momento correspondiente ingrese a la ecuación en la forma $q_{1}$ ${\frac {\parcial S}{\parcial q_{1))}$

{\frac {\parcial S}{\parcial t))+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\parcial S}{\parcial q_{1)) }\right),q_{2},\dots ,q_{n},{\frac {\parcial S}{\parcial q_{2))},\dots ,{\frac {\parcial S}{\parcial q_{n}}}\derecho)=0.

Entonces puedes poner

f_{1}\left(q_{1},{\frac {\parcial S}{\parcial q_{1))}\right)=\alpha _{1},

{\frac {\S parcial}{\q_{1))}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),

donde es una constante arbitraria, es la función inversa y resuelve la ecuación de Hamilton-Jacobi con menos variables. Si el proceso puede continuar en todas las variables, entonces la solución de la ecuación tomará la forma $\alpha_{1}$ $g_{1}$

S=-\int H(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\ ,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_ {n},\alpha _{1},\puntos,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,

donde son constantes arbitrarias, es la constante de integración. Recordemos que en este caso es una función del punto final . Dado que la acción define la transformación canónica del sistema hamiltoniano, sus derivadas con respecto a las coordenadas son momentos en el nuevo sistema de coordenadas, por lo que deben conservarse: $\alpha_i$ $k$ $S$ ${\ estilo de visualización (q_ {1}, \ puntos, q_ {n})}$

\beta_{i}={\frac {\parcial S}{\parcial \alpha_{i))}(\mathbf {q},\alpha_{1},\dots,\alpha_{ Nuevo Testamento).

Junto con las ecuaciones de cantidad de movimiento, esto determina el movimiento del sistema.

Además, si en un sistema holonómico con grados de tiene la formala energía potencialytiene la formacinéticaenergíalalibertad [1] . $s$ $T={\frac {1}{2}}f\sum_{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),$ $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ $f=\sum_{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$

Véase también

Notas

↑ Butenin, 1971 , p. 167.

Literatura

Artículo en la Enciclopedia Física
Gantmakher F. R. Conferencias sobre mecánica analítica . 2ª edición - M. : Nauka, 1966.
Dobronravov VV Fundamentos de Mecánica Analítica . - M.: Escuela superior, 1976.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecánica. - 5ª edición, estereotipada. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 págs. — (“Física Teórica”, tomo I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Lanczos K. Principios variacionales de la mecánica . — M.: Fizmatgiz. 1965.
Leach JW Mecánica Clásica . - M.: Extranjero. literatura, 1961.
Pavlenko Yu. G. Conferencias sobre mecánica teórica. — M.: FIZMATLIT, 2002. — 392 p.
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