Cuatro armónicos

Un cuádruple armónico de puntos es un cuádruple de puntos en una recta proyectiva cuya razón dual es . En este caso, también dicen que los puntos y se conjugan armónicamente con respecto a y escriben . ${\ estilo de visualización (ABCD) = -1}$ $C$ $D$ $A,B$ ${\ estilo de visualización H (AB, CD)}$

Un cuádruple armónico de líneas es un cuádruple de líneas en el plano proyectivo que pasa por un punto para el cual cualquier cuádruple de puntos como el que se encuentra en una línea es armónico. En este caso, escriba . $a B C D$ $S$ $A B C D$ ${\ estilo de visualización A \ en a, B \ en b, C \ en c, D \ en d}$ $H(ab,cd)$

Propiedades

Si un cuatro armónico de líneas se cruza con una línea recta, entonces se forma un cuatro armónico de puntos en esta línea.
A cada lado de un cuatro vértice completo hay un cuatro armónico de puntos.[ aclarar ]
En cada diagonal de un cuatro vértice completo hay un cuatro armónico de puntos.[ aclarar ]
El cuadrilátero armónico de puntos en el plano complejo se encuentra en la misma línea o círculo, y los pares de tangentes en puntos opuestos son concurrentes con la diagonal.

Edificio

Para cualquier tres puntos que se encuentren en la misma línea recta, utilizando las propiedades armónicas de un cuatro vértice completo, puede construir un cuarto punto para obtener cuatro puntos armónicos.
En la figura anterior, los puntos de intersección de dos pares de lados opuestos ML y KN , MK y LN del cuadrilátero completo MLNK (respectivamente, los dos primeros puntos A y B de la línea), así como los puntos D y C de la intersección, respectivamente, de las diagonales LK y MN con esta línea (línea AC ), pasando por estos puntos, forman un armónico de cuatro puntos A, B, C, D.
La construcción del último punto (ver también la figura) está completamente duplicada por el siguiente teorema [1] : Para un punto K , la línea Ceva (por ejemplo , LD ) del triángulo ALB y la línea MN , que conecta las bases M y N de otras dos líneas Ceva AN y BM , divide armónicamente el lado opuesto AB .

Un ejemplo de un quad armónico de puntos

Las bisectrices de los ángulos interior y exterior en un vértice del triángulo cortan el lado opuesto a este vértice y, en consecuencia, su continuación en dos puntos, que, junto con los dos extremos de este lado, forman un cuatro armónico de puntos [2 ] .
Un punto conjugado armónicamente al medio de un lado de un triángulo está en la extensión de este lado al infinito [3] .

El cuádruple armónico en el plano euclidiano extendido

Si el punto es impropio , entonces el cuádruple es armónico, si es el punto medio del segmento . ${\ Displaystyle D_ {\ infinito}}$ ${\displaystyle A,B,C,D_{\infty))$ $C$ $AB$
Si es un cuatro vértice completo y sus puntos diagonales son impropios, entonces es un paralelogramo en el plano euclidiano extendido , y de sus propiedades armónicas se deduce que el punto de intersección de sus diagonales los biseca. $A B C D$ ${\displaystyle P_{\infty},Q_{\infty))$ $A B C D$
Si - un cuatro vértice completo, que tiene un punto diagonal - impropio, entonces en el plano euclidiano extendido - un trapezoide, y de sus propiedades armónicas se deduce que biseca . $A B C D$ $R_{\infty}=BC\cap AD$ $P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD$ $A B C D$ $PQ$ $ANUNCIO$

Notas

↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. Moscú: Uchpedgiz, 1962. Teorema de la pág. 46, § 31.
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. Moscú: Uchpedgiz, 1962. Teorema de la pág. 46, § 30.
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. Problema en la p. 46, § 30.

Literatura

Bazylev, Dunichev, Ivanitskaya. Geometría, parte 2. - M. : Educación, 1975.

Efimov N. V. Geometría superior. - 6ª ed.- M. , 1978.

Pevzner S.L. geometría proyectiva. - M. : Educación, 1980.

Postnikov M. M. Geometría analítica. — 1973.

H. S. M. Coxeter. Plano proyectivo real / ed. profe. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.