Doble relación

La razón dual (o razón compuesta o razón anarmónica obsoleta ) del cuádruple de números , ,, ( reales o complejos ) se define como $a$ $b$ $C$ $d$

(ab,cd)={\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}.

También hay símbolos y . ${\ estilo de visualización (a, b; c, d)}$ ${\ estilo de visualización [a, b; c, d]}$

Propiedades

${\ estilo de visualización (ab, cd) (ab, de) = (ab, ce)}$
La razón doble se conserva bajo transformaciones fraccionarias lineales , en particular, no depende de la elección de coordenadas en la línea.

(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)

En particular, si la razón doble de un cuádruple de números es , entonces la razón doble de cualquiera de las 24 permutaciones de un 4 es igual a uno de los siguientes seis valores:

\lambda

\lambda ,{\frac {1}{\lambda )),1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda )),{\frac {\lambda -1}{\lambda } },{\frac{\lambda}{\lambda -1))

Variaciones y generalizaciones

La razón doble (o compleja) de los cuatro puntos , , , que se encuentran en una línea recta ( real o compleja ) se llama número $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {ca}{cb)):{\frac {da}{db)),

donde , , , denotan las coordenadas de los puntos , , , respectivamente. La razón doble no depende de la elección de la coordenada en la línea. También se suele escribir así: $a$ $b$ $C$ $d$ $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {AC}{BC)):{\frac {AD}{BD)),

lo que significa que (respectivamente ) denota la proporción de segmentos dirigidos . ${\ estilo de visualización AC/BC}$ ${\ estilo de visualización AD/BD}$

La doble relación de los cuatro puntos de la línea se conserva bajo transformaciones proyectivas del plano o espacio.

La razón doble de las cuatro rectas , , , que pasan por un punto es el número $a$ $b$ $C$ $d$

(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c))):{\frac {\sin(a,d)}{\sin( b,d)}},

cuyo signo se elige de la siguiente manera: si uno de los ángulos formados por las rectas y no corta a ninguna de las rectas o (en este caso, el par de rectas y no separa al par de rectas y ), entonces ; de lo contrario $a$ $b$ $C$ $d$ $a$ $b$ $C$ $d$ ${\ estilo de visualización (ab, cd)> 0}$ ${\ estilo de visualización (ab, cd) <0}$

Deje que las cuatro líneas , , , pasen por el punto , y la línea no contiene . Deje que las rectas , , , se corten respectivamente en los puntos , y . Después $a$ $b$ $C$ $d$ $O$ $\ana$ $O$ $a$ $b$ $C$ $d$ $\ana$ $A$ $B$ $C$ $D$ ${\ estilo de visualización (ab, cd) = (AB, CD).}$

Véase también

Enlaces

R. Courant , G. Robbins , ¿Qué son las matemáticas?
Relación anarmónica de puntos // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Mantón, Michel . Sobre la función anarmónica de cuatro puntos o cuatro líneas // Reseña histórica del origen y desarrollo de los métodos geométricos. T. 2. Aprox. IX. M, 1883.