Línea proyectiva

La línea proyectiva es un espacio proyectivo unidimensional . Una línea proyectiva es un conjunto de líneas (subespacios unidimensionales) en un espacio lineal bidimensional. Los puntos de la línea proyectiva se pueden dar usando coordenadas homogéneas . Como espacio topológico, la línea proyectiva es la compactación en un punto de la línea afín . ${\ estilo de visualización [x_{1}:x_{2}]}$

Ejemplos

Una recta proyectiva real con un lápiz de funciones suaves es una variedad suave . Esta variedad es difeomorfa a un círculo . La línea proyectiva compleja , la esfera de Riemann , como una variedad real, es difeomorfa a la esfera bidimensional . Para un campo sesgado de cuaterniones, la línea proyectiva, como variedad real, es . $\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $S^{2}$ $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$

Acción de grupos sobre la línea proyectiva

Para grupos , etc., se puede definir una acción en la línea proyectiva. Factorizando sobre el conjunto de matrices escalares, obtenemos grupos para los que esta acción es exacta. Para un campo finito, es isomorfo a algún subgrupo de un grupo simétrico finito [1] . ${\displaystyleGL_{2}(k),SL_{2}(k)}$ ${\displaystylePGL_{2}(k),PSL_{2}(k)}$ $PSL_{2}(k)$

En geometría algebraica

La línea proyectiva es un ejemplo importante de una variedad proyectiva . El campo de funciones de la línea proyectiva es el campo de funciones racionales. El grupo de automorfismos de un campo es el grupo . Si una curva cuadrática no degenerada contiene al menos un punto, entonces es biracionalmente isomorfa a la línea proyectiva. $P^{1}(K)$ ${\ estilo de visualización K (X)}$ ${\ estilo de visualización K (X)}$ ${\displaystylePGL_{2}(K)}$

Notas

↑ Bogopolsky V.O. Introducción a la teoría de grupos. — 2002.

Literatura

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría - M. : Nauka 1986.
Enciclopedia Matemática, 1984, tomo 4, p.671, artículo Línea proyectiva.
Hartshorne R. Geometría algebraica - M. : Mir, 1981.