La representación de Heisenberg es una de las formas de describir los fenómenos de la mecánica cuántica , en la que la evolución de un sistema se describe mediante la ecuación de Heisenberg y está determinada únicamente por el desarrollo de los operadores en el tiempo, y el vector de estado no depende del tiempo.
De acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, cada cantidad física está asociada con un operador lineal autoadjunto , y un estado puro se describe mediante un vector del espacio de Hilbert . En la representación de Heisenberg, el vector de estado no depende del tiempo, y la evolución del sistema se describe mediante la ecuación:
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donde la derivada parcial significa la dependencia explícita de la cantidad física en el tiempo.
Sea un operador en la representación de Schrödinger y sea un operador en la representación de Heisenberg. Entonces el paso de una representación a otra está determinado por una transformación unitaria:
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donde está el operador de evolución:
donde están los operadores de ordenamiento y antiordenamiento por tiempo. En particular, si el operador de Hamilton no depende del tiempo, entonces
y la transformación unitaria toma la forma:
El vector de estado, en la representación de Schrödinger, satisface la ecuación de Schrödinger:
donde está el operador de Hamilton .
Introducimos el operador de evolución , que traslada el estado del sistema desde el momento inicial a cualquier otro:
Sustituyendo la fórmula (2) en la ecuación de Schrödinger, obtenemos que el operador de evolución satisface la ecuación:
donde es el operador de identidad. En particular, si el hamiltoniano no depende del tiempo, entonces el operador de evolución tiene la forma:
Ahora considere el valor medio del operador de algún observable:
Así, el operador en la representación de Heisenberg se define mediante la fórmula:
En particular, si el hamiltoniano no depende del tiempo, entonces
Derivamos la fórmula con respecto al tiempo y usamos la ecuación , luego obtenemos la ecuación de movimiento del operador en la representación de Heisenberg:
donde la derivada parcial denota la dependencia explícita del operador en el tiempo.
El operador de Hamilton de un oscilador armónico cuántico en la representación de los operadores de creación y aniquilación tiene la forma:
Dado que los operadores de creación y aniquilación no dependen del tiempo en la representación de Schrödinger, la ecuación se puede reescribir como
donde se utilizaron las relaciones de (anti)conmutación para los operadores de aniquilación y creación
La representación de Heisenberg se utiliza en teoría relativista, así como en problemas de física estadística.