Representación de Heisenberg

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La representación de Heisenberg es una de las formas de describir los fenómenos de la mecánica cuántica , en la que la evolución de un sistema se describe mediante la ecuación de Heisenberg y está determinada únicamente por el desarrollo de los operadores en el tiempo, y el vector de estado no depende del tiempo.

Descripción de la representación de Heisenberg

De acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, cada cantidad física está asociada con un operador lineal autoadjunto , y un estado puro se describe mediante un vector del espacio de Hilbert . En la representación de Heisenberg, el vector de estado no depende del tiempo, y la evolución del sistema se describe mediante la ecuación: ${\ sombrero A}$ $|\psi\ángulo$

${\frac {d}{dt}}{\sombrero {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar}}[{\sombrero {H}},{\ sombrero {A}}_{H}(t)]+{\frac {\parcial {\sombrero {A}}_{S}}{\parcial t)),$

donde la derivada parcial significa la dependencia explícita de la cantidad física en el tiempo.

Relación entre operadores en las representaciones de Schrödinger y Heisenberg

Sea un operador en la representación de Schrödinger y sea un operador en la representación de Heisenberg. Entonces el paso de una representación a otra está determinado por una transformación unitaria: ${\ sombrero A} (t)$ ${\ sombrero A}_{H}(t)$

${\sombrero A}_{H}(t)={\sombrero S}(t_{0},t){\sombrero A}(t){\sombrero S}(t,t_{0}),$

donde está el operador de evolución: ${\sombrero}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\derecha)\derecha\},t>t_{0}

{\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\derecha)\derecha\},t<t_{0}

donde están los operadores de ordenamiento y antiordenamiento por tiempo. En particular, si el operador de Hamilton no depende del tiempo, entonces $T,\sobrelínea {T}$

{\sombrero S}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar}}{\sombrero H}(t-t_{0})}\right),

y la transformación unitaria toma la forma:

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\sombrero {H}}(t-t_{0})/\hbar}.

La transición de la representación de Schrödinger a la representación de Heisenberg

El vector de estado, en la representación de Schrödinger, satisface la ecuación de Schrödinger:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\parcial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

donde está el operador de Hamilton . ${\ sombrero H} (t)$

Introducimos el operador de evolución , que traslada el estado del sistema desde el momento inicial a cualquier otro: ${\sombrero}(t,t_{0})$

{\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad ( 2)

Sustituyendo la fórmula (2) en la ecuación de Schrödinger, obtenemos que el operador de evolución satisface la ecuación:

i\hbar {\parcial \sobre \parcial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t ,t_{0}),\qquad(3)

{\sombrero {S}}(t_{0},t_{0})={\sombrero {I)),

donde es el operador de identidad. En particular, si el hamiltoniano no depende del tiempo, entonces el operador de evolución tiene la forma: ${\ que yo}$

{\sombrero {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\sombrero {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Ahora considere el valor medio del operador de algún observable: $\ que A$

\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi ( t_{0})|{\sombrero {S}}(t_{0},t){\sombrero {A}}(t){\sombrero {S}}(t,t_{0})|\Psi ( t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .

Así, el operador en la representación de Heisenberg se define mediante la fórmula: $\ que A$

{\sombrero {A}}_{H}(t)={\sombrero {S}}(t_{0},t){\sombrero {A}}(t){\sombrero {S}} (t,t_{0}).\qquad(4)

En particular, si el hamiltoniano no depende del tiempo, entonces

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\sombrero {H}}(t-t_{0})/\hbar}.

Derivamos la fórmula con respecto al tiempo y usamos la ecuación , luego obtenemos la ecuación de movimiento del operador en la representación de Heisenberg: ${\ estilo de visualización (4)}$ ${\ estilo de visualización (3)}$ ${\ sombrero A} (t)$

{d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}} _{H}(t)]+{\parcial \sobre \parcial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)

donde la derivada parcial denota la dependencia explícita del operador en el tiempo. ${\ sombrero A} (t)$

Ejemplo. Oscilador armónico cuántico.

El operador de Hamilton de un oscilador armónico cuántico en la representación de los operadores de creación y aniquilación tiene la forma:

{\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).

Dado que los operadores de creación y aniquilación no dependen del tiempo en la representación de Schrödinger, la ecuación se puede reescribir como ${\ estilo de visualización (5)}$

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat a}_{H}^{\dagger }{\hat a}_{H }+1/2,{\sombrero}_{H}(t)],

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat a}_{H}(t),

{\sombrero}_{H}(t)={\sombrero}e^{{-i\omega (t-t_{0))))),

{\sombrero {a}}_{H}^{\daga}(t)={\sombrero {a}}^{\daga}e^{i\omega (t-t_{0})} ,

donde se utilizaron las relaciones de (anti)conmutación para los operadores de aniquilación y creación $[{\sombrero {a)],{\sombrero {a))^{\daga}]_{\mp}=1.$

Aplicación

La representación de Heisenberg se utiliza en teoría relativista, así como en problemas de física estadística.

Véase también

Literatura

Sección 6. Representación de Schrödinger y Heisenberg // Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Campos cuánticos. — M.: Nauka, 1980. — S. 55-56.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). - 6ª edición, revisada. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 p. - (" Física Teórica ", Tomo III). — ISBN 5-9221-0530-2 . Sección 13. Representación de operadores de Heisenberg.
Sección 10. La representación de Heisenberg. Capítulo VIII // Mesías A. Mecánica cuántica. - M.: Nauka, 1978. - S. 306-307.
Sección 3.4. Imagen de Heisenberg // Sudbury A. Mecánica cuántica y física de partículas elementales. — M.: Mir, 1989. — S. 154-155.
Serbo V. G., Khriplovich I. B. Mecánica cuántica: libro de texto. - Novosibirsk: Editorial de la Universidad Estatal de Novosibirsk, 2008. - 274 p. — ISBN 978-5-94356-642-4

Enlaces

Representación de Heisenberg - Artículo de la Enciclopedia de Física
cuadro de Heisenberg