La teoría de grupos geométricos es una rama de las matemáticas que estudia grupos generados finitamente a partir de las relaciones entre sus propiedades algebraicas y las propiedades topológicas y geométricas de los espacios sobre los que actúan dichos grupos, o de los propios grupos, considerados como objetos geométricos (lo que suele hacerse mediante considerando el gráfico de Cayley y las métricas de vocabulario correspondientes ).
La teoría de grupos geométricos, como una rama separada de las matemáticas, apareció hace relativamente poco tiempo y comenzó a destacarse claramente a fines de la década de 1980 y principios de la de 1990. La teoría de grupos geométricos interactúa con la topología de baja dimensión , la geometría hiperbólica , la topología algebraica , la teoría de grupos computacional . También está asociada con la teoría de la complejidad , la lógica matemática , el estudio de los grupos de Lie y sus subgrupos discretos , los sistemas dinámicos , la teoría de la probabilidad, la teoría K y otras áreas de las matemáticas.
El teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial debe considerarse el primer resultado de la teoría geométrica de grupos . La demostración utiliza por primera vez la llamada convergencia de Gromov-Hausdorff .
No obstante, el paso principal en la formación de la teoría geométrica de los grupos se dio en el artículo de Gromov sobre los grupos hiperbólicos. [1] La definición de un grupo hiperbólico dada en este artículo dio una clara interpretación geométrica de la teoría de grupos con pequeñas cancelaciones .