Programación geométrica

La programación geométrica es una rama de la programación matemática que estudia un enfoque para resolver problemas de optimización no lineal de una estructura especial. El término fue introducido por primera vez en 1967 por R. Duffin, E. Peterson y K. Zener. El nombre de la disciplina se debe a que una de las principales en la teoría presentada es la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética y sus generalizaciones. Algunos problemas geométricos y métodos para su solución sirvieron como requisito previo para el desarrollo de GP. El concepto básico de GP es posein .

Formulación de un problema de programación geométrica

Encuentre el valor mínimo de una función bajo restricciones: $g_{{0}}(t)$

t_{{1}}>0,t_{{2}}>0,...,t_{{m}}>0

g_{{1}}(t)\leqslant 1,g_{{2}}(t)\leqslant 1,...,g_{{p}}(t)\leqslant 1,

Aquí

g_{{k}}(t)=\sum_{{i\in J[k]}}c_{{i}}t_{{1}}^{{a_{{i1}}}}t_{{ 2}}^{{a_{{i2}}}}...t_{{m}}^{{a_{{im}}}},k=0,1,...,p

dónde

J[k]=(m_{{k}},m_{{k}}+1,m_{{k}}+2,...,n_{{k}})k=0,1,.. .,pags

m_{{0}}=1,m_{{1}}=n_{{0}}+1,m_{{2}}=n_{{1}}+1,...,m_{{p} }=n_{{p-1}}+1,n_{{p}}=p

Funciones - posinomios . $g_{{k}}(t)$

Un ejemplo de problemas de programación geométrica

Ejemplo 1

Encuentra las longitudes de los lados de un rectángulo de perímetro dado que tiene el área más grande. Lo mismo para el triángulo.

Ejemplo 2

\prod \limits _{{i=1}}^{{n}}x_{{i}}^{{\beta _{{i}}}}\rightarrow \max

bajo restricciones

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\alpha _{{i}}x_{{i}}=S,\ x_{i}>0,\ x_{i}\in {\ matemáticas {R}),

dónde $\beta _{i}>0,\ \alpha _{i}>0,\beta _{i}\in {\mathbb {R)),\alpha _{i}\in {\mathbb {R)) ,\ i=\overline {1,n},$

La solución al problema es un vector con componentes donde $x_{{}}^{{*}}$ $x_{{i}}^{{*}}={\frac {\beta _{i}S}{\alpha _{i}\beta }},$ $\ \beta =\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\beta _{i}.$

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Literatura

R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. "Programación Geométrica - Teoría y Aplicación". — 1967.
R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. Programación geométrica. - M. : Mir, 1972. - 311 p.