Geometría de Riemann

La geometría de Riemann (también llamada geometría elíptica ) es una de las geometrías no euclidianas de curvatura constante (las otras son la geometría de Lobachevsky y la geometría esférica ). Si la geometría de Euclides se realiza en un espacio con curvatura gaussiana cero , Lobachevsky - con negativo, entonces la geometría de Riemann se realiza en un espacio con curvatura positiva constante (en el caso bidimensional, en el plano proyectivo y localmente en la esfera ).

En la geometría riemanniana, una línea está definida por dos puntos, un plano por tres, dos planos se cortan a lo largo de una línea, etc., pero en la geometría riemanniana no hay líneas paralelas. En la geometría de Riemann, como en la geometría esférica, la afirmación es cierta: la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que dos líneas rectas, la fórmula tiene lugar donde es la suma de los ángulos de un triángulo, es el radio de la esfera sobre el que se implementa la geometría. ${\ estilo de visualización \ Sigma = \ pi + {S}/{R^{2)),}$ $\Sigma$ $R$

La geometría bidimensional de Riemann es similar a la geometría esférica , pero difiere en que dos "líneas" cualesquiera no tienen dos, como en la esférica, sino solo un punto de intersección. Identificando los puntos opuestos de la esfera se obtiene un plano proyectivo cuya geometría satisface los axiomas de la geometría de Riemann.

Es decir, considere una esfera centrada en un punto en el espacio tridimensional . Cada punto , junto con el centro de la esfera , define alguna recta , es decir, algún punto del plano proyectivo . La yuxtaposición define el mapeo , grandes círculos en (líneas rectas en geometría esférica) se convierten en líneas rectas en el plano proyectivo , mientras que exactamente dos puntos de la esfera van a un punto: junto con el punto y el punto diametralmente opuesto a él (ver figura). Los movimientos euclidianos del espacio , que toman la esfera en sí misma, dan algunas transformaciones definidas del plano proyectivo , que son movimientos de geometría riemanniana. En la geometría de Riemann, todas las líneas se intersecan, ya que esto es cierto para el plano proyectivo y, por lo tanto, no hay líneas paralelas en él. $S$ $O$ $mi$ $A \ en S$ $O$ $l\subconjunto E$ ${\ estilo de visualización A_ {*}}$ $\Pi$ $A \ a A_ {*}$ $S\a\Pi$ $S$ $\Pi$ $A_{*}\en \Pi$ $A \ en S$ $A'\ en S$ $mi$ $S$ $\Pi$

Una de las diferencias entre la geometría de Riemann y la geometría euclidiana y la geometría de Lobachevsky es que no existe el concepto natural "el punto C se encuentra entre los puntos A y B " (este concepto también está ausente en la geometría esférica). De hecho, un gran círculo en la esfera se muestra en la línea recta del plano proyectivo , y dos puntos diametralmente opuestos de la esfera y pasan a un solo punto . Del mismo modo, los puntos van a un punto y los puntos van a un punto . Así, con la misma razón, podemos suponer que el punto se encuentra entre y y que no se encuentra entre ellos (ver figura). $\Pi$ $S$ $A$ $A'$ $A_{*}\en \Pi$ ${\ estilo de visualización B, B'}$ $B_{*}\en\Pi$ ${\ estilo de visualización C, C'}$ $C_{*}\en \Pi$ ${\ estilo de visualización C_ {*}}$ ${\ estilo de visualización A_ {*}}$ ${\ estilo de visualización B_ {*}}$

Literatura

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