Hipótesis de Fermat-Catalana

La Hipótesis Catalana de Fermat es una hipótesis de teoría de números que generaliza el Último Teorema de Fermat y la Hipótesis Catalana . Ella afirma que la ecuación

a^{m}+b^{n}=c^{k}

tiene como máximo un número finito de soluciones con diferentes triples de valores , donde son números naturales coprimos y son números naturales que satisfacen la relación $a, b, c, m, n, k$ $a^{m},b^{n},c^{k}$ $a B C$ $m, n, k$

{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.

A partir de 2014, solo se conocen 10 soluciones a esta ecuación: [1]

1^{m}+2^{3}=3^{2}

2^{5}+7^{2}=3^{4}

13^{2}+7^{3}=2^{9}

2^{7}+17^{3}=71^{2}

3^{5}+11^{4}=122^{2}

33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}

1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}

9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}

17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}

43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}

La solución es la única solución en la que uno de es igual a 1. Esta es la conjetura catalana , demostrada en 2006 por Mihailescu . $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ $a B C$

Todas las soluciones se encontraron para triples de igual exponente . $m, n, k$ $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,6),(3 ,3,4),(3,3,5),(2,4,7),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4 ,norte)$

Por el teorema de Faltings , para cualquier número natural fijo que satisfaga la desigualdad , hay como máximo un número finito de triples que satisfacen la ecuación , pero la hipótesis de Fermat-Catalan es más estricta, ya que establece que el número de soluciones para un conjunto infinito de triples es finito $m, n, k$ ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$ $a B C$ $a^{m}+b^{n}=c^{k}$ $m, n, k$

la hipótesis abc implica la hipótesis de Fermat-Catalan [1] .

La conjetura de Beal es que todas las soluciones de la ecuación de Fermat-Catalan tienen uno de los exponentes igual a 2.

Notas

↑ 1 2 Pomerance, Carl (2008), Teoría computacional de números, en Gowers, Timothy; Barrow-Green, June & Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, p. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Literatura

Ian Stewart . "Los Grandes Problemas Matemáticos". - M. : " No ficción Alpina ", 2016. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .