Valor principal de la integral de Cauchy

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El principal valor de la integral de Cauchy es una generalización del concepto de integral de Riemann , que permite calcular algunas integrales impropias divergentes . La idea del valor principal de la integral de Cauchy es que cuando los intervalos de integración se acercan al punto singular desde ambos lados “a la misma velocidad”, las singularidades se nivelan entre sí (debido a los diferentes signos a la izquierda y a la derecha), y como resultado, puede obtener un límite finito, que se denomina valor principal de la integral de Cauchy. Este concepto tiene aplicaciones importantes en el análisis complejo ( teorema de Sochocki-Plemelja ) [1] .

Así, por ejemplo, una integral es una integral impropia de segunda especie , no existe, pero existe en el sentido del valor principal de la integral de Cauchy. ${\ estilo de visualización \ int _ {-1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}}}$

Definición del valor principal de la integral de Cauchy

Definición (para punto singular "∞")

Definición (para el punto singular "∞"). Sea f (x) definida en el intervalo (-∞, + ∞) y f ∈ R ([- A, A]) para todo A > 0, pero la integral impropia del primer tipo diverge. Si hay un límite finito $\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$

\lim _{A\rightarrow +\infty}\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,

entonces este límite se llama el valor principal de la integral de Cauchy (o el valor principal en el sentido de Cauchy) para la función f en el dominio (-∞, + ∞) y se denota por el símbolo

\mathrm {vp} \int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx.

En este caso, se dice que la función f (x) es integrable en el intervalo (-∞, + ∞) en el sentido de Cauchy (o integrable en el dominio (-∞, + ∞) en el sentido de Cauchy).

Ejemplo. Considere la integral impropia. Esta integral diverge porque, por ejemplo, la integral será divergente, pero hay un valor principal de esta integral en el sentido de Cauchy: $\int _{-\infty}^{+\infty}x\,dx.$ $\int _{0}^{+\infty}x\,dx,$

\mathrm {vp} \int_{-\infty}^{+\infty}x\,dx=\lim_{A\rightarrow +\infty}\int_{-A}^{A}x \,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.

Teorema

Si f (x) es impar en (-∞, + ∞) y f ∈ R ([- A, A]) para todo A > 0, entonces f es integrable de Cauchy en (-∞, + ∞).
Si f (x) es par en (-∞, + ∞) y f ∈ R ([- A, A]) para todo A > 0, entonces la convergencia de la integral es equivalente a la convergencia de la integral $\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$ $\int _{0}^{+\infty}f(x)\,dx.$

Definición (para un punto singular finito)

Definición (para un punto singular finito). Sea la función f : [a, b] → R que satisfaga las condiciones:

existe δ > 0 tal que f ∈ R ([a, c - ε]) y f ∈ R ([c + ε, b]) para todo ε ∈ (0, δ)
divergente es una integral impropia de la segunda clase ${\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {b} f (x) \, dx.}$

Si hay un límite finito

\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f (x)\,dx\derecha),

entonces este límite se llama el valor principal de la integral de Cauchy (o el valor principal en el sentido de Cauchy) para la función f en el intervalo [a, b] y se denota por el símbolo

\mathrm {vp} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Además, se dice que la función f (x) es integrable de Cauchy en [a , b ] (o integrable en el segmento [a, b] en el sentido de Cauchy).

Ejemplo. Considere una integral impropia del segundo tipo (ver figura) diverge, ya que, por ejemplo, la integral diverge.En este caso, en la comprensión del valor principal según Cauchy, esta integral existe y es igual a cero: ${\ estilo de visualización \ int _ {-2} ^ {2} {\ frac {dx} {x}}}$ $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x)).$

{\begin{alineado}\mathrm {vp} \int_{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}\left (\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int_{\varepsilon}^{2}{\frac {dx}{x}}\right)= \\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |} _ {\varepsilon}^{2}\right)=\\&=\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{alineado}}

El caso de varios puntos singulares en el intervalo de integración

Ejemplo. Considere una integral impropia (vea la figura). Los puntos singulares del integrando f (x) = 2 x / (x²-1) son los puntos -1, 1 y ∞. Esta integral diverge, por lo tanto diverge, por ejemplo, la integral $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$

{\begin{alineado}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\ infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln | x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{ 2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{alineado))

Obviamente, f ∈ R ([1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) para todo ε ∈ (0 , 1) (porque está acotado en cada uno de estos segmentos). Comprobemos la integrabilidad de la función f en el sentido de Cauchy:

{\begin{alineado}\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\ int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{ 2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon}^{-1-\varepsilon}+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0 .\end{alineado}}

Por tanto, la función f es integrable de Cauchy en el intervalo (-∞, + ∞).

Notas

↑ Pavlov V.P. El valor principal de la integral // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - T. 1: Aharonov - Efecto Bohm - Largas colas. — 707 pág. — 100.000 copias.

Fuentes

Dorogovtsev A. Ya. Análisis matemático . - Kyiv, Escuela Superior, 1985.