Punto singular (ecuaciones diferenciales)

En matemáticas , un punto singular de un campo vectorial es el punto en el que el campo vectorial es igual a cero. El punto singular del campo vectorial es la posición de equilibrio o punto de reposo del sistema dinámico definido por el campo vectorial dado: la trayectoria de fase con origen en el punto singular consiste exactamente en este punto singular, y la curva integral que le corresponde es una recta paralela al eje del tiempo.

En cualquier pequeña vecindad del espacio de fases que no contenga puntos singulares, el campo vectorial puede enderezarse mediante un cambio adecuado de coordenadas; por lo tanto, el comportamiento del sistema fuera de los puntos singulares es el mismo y muy simple. Por el contrario, en la vecindad de un punto singular, el sistema puede tener dinámicas muy complejas. Hablando de las propiedades de los puntos singulares de los campos vectoriales, uno generalmente se refiere a las propiedades del sistema correspondiente en una pequeña vecindad del punto singular.

Puntos singulares de campos vectoriales en el plano

Los ejemplos más simples de puntos singulares son los puntos singulares de campos vectoriales lineales en el plano. Con el concepto de campo vectorial en un plano, se puede asociar un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de la forma:

,

donde  es un punto en el plano,  es la matriz . Obviamente, el punto en el caso de una matriz no singular es el único punto singular de tal ecuación.

Dependiendo de los valores propios de la matriz , existen cuatro tipos de puntos singulares no degenerados de los sistemas lineales: nodo, silla, foco, centro.

Véase también

• Teorema del campo vectorial de Poincaré