Espacio tangente

El espacio tangente a una variedad uniforme en un punto es una colección de vectores tangentes con la estructura natural del espacio vectorial introducida en él . El espacio tangente a en un punto generalmente se denota o, cuando es obvio de qué tipo de variedad estamos hablando, simplemente . $METRO$ $X$ $METRO$ $X$ $T_{x}M$ $T_{x}$

El conjunto de espacios tangentes en todos los puntos de la variedad (junto con la variedad misma) forma un paquete vectorial , que se llama paquete tangente . En consecuencia, cada espacio tangente es una fibra del haz tangente.

El espacio tangente en un punto a una subvariedad $pags$ se define de manera similar.

En el caso más simple, cuando una variedad suave se incrusta suavemente en un espacio vectorial (lo que siempre es posible, según el teorema de incrustación de Whitney ), cada espacio tangente puede identificarse naturalmente con algún subespacio afín del espacio vectorial ambiental.

Definiciones

Hay dos definiciones estándar de espacio tangente: a través de la clase de equivalencia de curvas suaves y a través de la diferenciación en un punto. El primero es intuitivamente más simple, pero hay una serie de dificultades técnicas en el camino. El segundo es el más sencillo, aunque el nivel de abstracción es mayor en él. La segunda definición también es más fácil de aplicar en la práctica.

Como clase de equivalencia de curvas suaves

Sea una variedad suave y . Considere una clase de curvas suaves tales que . Introduzcamos una relación de equivalencia: si $METRO$ $p\en M$ $\gamma _{p}$ $\gamma \colon {\mathbb I}\to M$ $\gamma (0)=p$ $\gamma _{p}$ $\gamma_{1}\sim \gamma_{2}$

|\gamma _{1}(t)-\gamma _{2}(t)|=o(t),t\to 0

en algún (y por lo tanto en cualquier) mapa que contenga . $pags$

Los elementos del espacio tangente se definen como -clases de equivalencia ; eso es $T_{p}$ $\sim$ $\gamma _{p}$

T_{p}=\Gamma _{p}/\sim

En un mapa tal que corresponde al origen, las curvas de se pueden sumar y multiplicar por un número de la siguiente manera $pags$ $\gamma _{p}$

(\gamma_{1}+\gamma_{2})(t)=\gamma_{1}(t)+\gamma_{2}(t)

(k\cdot \gamma)(t)=\gamma (k\cdot t)

El resultado permanece en . $\gamma _{p}$

Estas operaciones continúan hasta las clases de equivalencia . Además, las operaciones inducidas sobre las operaciones ya no dependen de la elección del mapa. Así se define la estructura de un espacio vectorial. $T_{p}=\Gamma _{p}/\sim$ $T_{p}$ $T_{p}$

A través de la diferenciación en un punto

Sea una variedad suave. Entonces el espacio tangente a una variedad en un punto es el espacio de derivaciones en ese punto, es decir, el espacio de operadores que asignan un número a cada función suave y satisfacen las dos condiciones siguientes: $METRO$ $C^\infty$ $METRO$ $p\en M$ $X,$ $f:M\a\mathbb{R}$ ${\ estilo de visualización Xf,}$

$\matemáticas {R}$ -linealidad: $X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\;\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,f,h\in C^{\infty }(M)$
La regla de Leibniz : $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh),\;f,h\in C^{\infty }(M).$

Del conjunto de todas las derivaciones en un punto , surge la estructura natural de un espacio lineal: $pags$

$(X+Y)f=Xf+Yf;$ $(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Notas

En el caso de variedades lisas, se debe agregar una propiedad más a la definición a través de la diferenciación $C^k$ $xf=0$ si $f(q)=o(|pq|)$

en algún (y por lo tanto en cualquier) mapa que contenga .

pags

De lo contrario, esta definición dará un espacio de dimensión infinita que incluye el espacio tangente. Este espacio a veces se llama el espacio tangente algebraico . Vea abajo.

deja _ Entonces la regla de Leibniz y la condición de linealidad del operador se cumplen para . Esto permite identificar los espacios tangentes obtenidos en la primera y segunda definición. $\gamma \in \Gamma _{p}$ $Xf=(f\circ \gamma)'(0)$

Propiedades

El espacio tangente de una variedad uniforme bidimensional es un espacio vectorial bidimensional $norte$ $norte$
Para un mapa local seleccionado, operadores de diferenciación con respecto a : $x_{1},\puntos,x_{n}$ $X_{yo}$ $x_{yo}$ $X_{i}f={\frac {\parcial f}{\parcial x_{i}}}(p)$

representan una base , llamada base holonómica .

T_{p}

Definiciones relacionadas

Un elemento de contacto con una variedad en algún punto es cualquier hiperplano del espacio tangente en ese punto.

Variaciones y generalizaciones

Espacio tangente algebraico

El espacio tangente algebraico surge cuando, en la definición del vector tangente, renunciamos al requisito adicional expresado en la observación anterior (que, sin embargo, solo importa para variedades -diferenciables, ). Su definición se generaliza a cualquier espacio localmente anillado (en particular, a cualquier variedad algebraica ). $C^k$ $k<\infty$

Sea una variedad diferenciable y un anillo de funciones diferenciables de a . Considere el anillo de gérmenes de funciones en un punto y la proyección canónica . Denote por el núcleo del homomorfismo del anillo . Introduzcamos la estructura de un álgebra real con la ayuda de un homomorfismo inyectivo , y luego identifiquemos y . La igualdad [1] se cumple . Denótese por la subálgebra que consta de todos los gérmenes cuyos representantes tienen diferenciales cero en un punto de cada gráfico ; denotar _ Tenga en cuenta que $METRO$ $C^k$ $C^{k}(M)$ $METRO$ $\matemáticas {R}$ $C_{x}^{k}$ $x \en M$ $[-]_{x}:C^{k}(M)\a C_{x}^{k}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $[f]_{x}\mapas a f(x)$ $C_{x}^{k}$ $yo:{\mathbb {R}}\a C_{x}^{k}$ $i(a)=[{\mathrm {const}}_{a}]_{x}$ $\matemáticas {R}$ $i({\matemáticas {R}})$ $C_{x}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ $C_{{x,0}}^{k}$ $C_{x}^{k}$ $X$ $C_{{x,d}}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $C_{{x,d}}^{k}\subconjunto C_{{x,0}}^{k}$

Considere dos espacios vectoriales:

$T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{{x,0}}^{k})^{*}$ — este espacio tiene dimensión y coincide con el espacio tangente previamente definido a en el punto , $\operatorname {tenue}M$ $METRO$ $X$
$(C_{x}^{k}/C_{{x,d}}^{k})^{*}\cong ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_ {x}^{2})^{*}$ — este espacio es isomorfo al espacio de derivaciones con valores en , se llama espacio tangente algebraico [2] en el punto . $C_{x}^{k}={\mathbb {R}}\oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathbb {R}}\subconjunto C_{x}^{k}$ $METRO$ $X$

Si , entonces tiene la dimensión del continuo y contiene como un subespacio no trivial; en caso de que estos espacios coincidan (y ) [3] . En ambos casos, se puede identificar con el (sub)espacio de derivaciones con valores en ; para un vector, la fórmula define un homomorfismo inyectivo en el espacio de derivaciones con valores en (la estructura del álgebra real en se da de manera similar ). En este caso , se obtiene exactamente la definición dada anteriormente. $k<\infty$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}$ $T_{x}M$ $k=\infty$ $k=\omega$ $C_{{x,0}}^{k}=C_{{x,d}}^{k}$ $T_{x}M$ $C_{x}^{k}$ $\matemáticas {R}$ $X\en T_{x}M$ $X(f)=X([f]_{x})$ $T_{x}M$ $C^{k}(M)$ $\matemáticas {R}$ $C^{k}(M)$ $C_{x}^{k}$ $k=\infty$

Véase también

Notas

↑ J.-P. Serre , Lie Algebras and Lie Groups, Moscú: Mir, 1969.
↑ Laird E. Taylor , The Tangent Space to a Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, núm. 4 de julio de 1973. $C^k$
↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham , Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. compañía, 1983.