Regla del producto

La regla del producto , o la identidad de Leibniz , es una propiedad característica de los operadores diferenciales .

\delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g).

A menudo, la identidad de Leibniz se incluye como un axioma en la definición de diferenciación.

Ejemplos

por derivada $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
para diferencial $d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)$

Variaciones y generalizaciones

Derivada múltiple

Para la -ésima derivada existe una fórmula de Leibniz generalizada : $norte$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

donde son los coeficientes binomiales .

C_{n}^{k}

Álgebra graduada

Una operación en un álgebra graduada satisface la identidad graduada de Leibniz si, para cualquier , ${\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l))$ ${\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k))$ ${\ Displaystyle K \ en \ Omega ^ {k}}$ ${\ Displaystyle F \ en \ Omega}$

\delta _{l}(K\cuña F)=\delta_{l}(K)\cuña F+(-1)^{kl}K\cuña \delta_{l}(F)

donde esta la multiplicacion en . La mayoría de las derivaciones sobre el álgebra de formas diferenciales satisfacen esta identidad. $\cuña$ $\Omega$

Álgebra asociativa

La siguiente identidad es verdadera en álgebra asociativa : Esta identidad es la regla de Leibniz para un operador Por esta razón, un operador se llama derivación intrínseca en álgebra. El operador tiene una propiedad similar. $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ $D_{A}=[A,\cdot].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot,A].$

Como consecuencia, $[A,B_{1}B_{2}\puntos B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\puntos B_{n}+B_{1}[A,B_{ 2}]\puntos B_{n}+\puntos +B_{1}B_{2}\puntos [A,B_{n}].$

Véase también

Regla de multiplicación (combinatoria)