Álgebra graduada

Un álgebra graduada es un álgebra descompuesta en una suma directa de sus subespacios de tal manera que se cumple la condición . [1] [2] ${\ estilo de texto A}$ ${\textstyle A=\bigoplus_{r=-\infty}^{\infty}A_{r))$ ${\ Displaystyle A_ {r}}$ ${\textstyle A_{r}A_{s}\subconjunto A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$

Definición

Sea A un álgebra sobre un anillo k , G un semigrupo .

Un álgebra A se llama G - calificada (sinónimo: G - la calificación se da en A ) si A se descompone en una suma directa de k -módulos sobre todos los elementos g de G , y la multiplicación en el álgebra es consistente con la multiplicación en el semigrupo: $A_{g}$

{\displaystyle A_{f}A_{g}\subconjunto A_{fg))

Si un elemento distinto de cero a pertenece a , entonces se llama homogéneo de grado g . $A_{g}$

Cuando G se toma como el grupo aditivo de los enteros o el semigrupo de los enteros no negativos, se dice que el álgebra A es simplemente graduada.

Si tomamos el anillo como A en la definición anterior , obtenemos la definición de un anillo graduado .

Construcciones con graduaciones

Si A es un álgebra de grado G y a es un homomorfismo de semigrupos , entonces A está dotado de un grado H por la regla: ${\ estilo de visualización \ psi: G \ a H}$

A_{h}=\oplus_{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}

En cualquier álgebra A , se puede introducir una calificación trivial por cualquier semigrupo G con identidad e , asumiendo que , por lo tanto, no tiene sentido considerar tales calificaciones "pobres". $A_{e}=A$

Sobre un campo , cualquier álgebra A es graduable por el grupo G de caracteres del toro máximo de su grupo de automorfismos algebraicos: $\matemáticas {C}$ $G=(T(\operatorname {Aut}_{k{\text{-alg))}(A)))^{\vee}:\quad A_{g}=\{a\in A\ medio \phi (a)=g(\phi )a$ para todo el mundo $\phi \in T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Esta gradación, en el sentido anterior, es la “más rica” de todas las gradaciones abelianas del álgebra A , ya que sobre cualquier álgebra A graduada G el grupo de caracteres G actúa por automorfismos, por la misma fórmula.

Ejemplos

Anillo de polinomios en una o más variables.
Anillo de cohomología .
El álgebra de matrices de orden n se califica por el grupo ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {n-1}.}$
Un álgebra de semigrupos es un álgebra de grado G. $K\izquierda[G\derecha]$

Módulo calificado

El concepto correspondiente en la teoría de módulos es un módulo graduado , es decir, un módulo izquierdo M sobre un anillo graduado A tal que

{\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i))

{\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}

Un morfismo de módulo graduado es un morfismo de módulo que conserva la clasificación, es decir, . ${\ estilo de visualización f: N \ a M}$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i))$

Para un módulo graduado M , se puede definir ℓ -twist como un módulo graduado definido por la regla . (Ver torsión de la gavilla de Serre en geometría algebraica). ${\ estilo de visualización M (\ ell)}$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$

Sean M y N módulos graduados. Si es un morfismo de módulos, entonces se dice que f tiene grado d si . La derivada exterior de una forma diferencial en geometría diferencial es un ejemplo de morfismo de grado 1. ${\ estilo de visualización f: M \ a N}$ ${\displaystyle f(M_{n})\subconjunto N_{n+d))$

Literatura

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Teoría de anillos graduados. - Ámsterdam: Holanda Septentrional, 1982. - ISBN 9780444864895 .

Notas

↑ Esta álgebra graduada también se llama -graduada. ${\ estilo de texto \ mathbb {Z} }$
↑ Diccionario enciclopédico matemático / Cap. edición Yu. V. Prokhorov; ed. col.: S. I. Adyan, N. S. Bakhvalov, V. I. Bityutskov, A. P. Ershov, L. D. Kudryavtsev, A. L. Onishchik, A. P. Yushkevich. - M . : Sov. enciclopedia, 1988. - S. 161 . — 847 pág. — 150.000 copias.