Importe directo

El símbolo significa tomar una cantidad directa; es también el símbolo de la Tierra en astronomía y astrología , y el símbolo de la operación exclusiva u .

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Una suma directa es un objeto matemático derivado creado a partir de objetos básicos de acuerdo con las reglas definidas a continuación. Los básicos suelen ser espacios vectoriales o grupos abelianos . También hay una generalización de esta construcción para los espacios de Banach y Hilbert .

La suma directa de dos objetos y se denota por , y la suma directa de un conjunto arbitrario de objetos se denota por . En este caso, un arbitrario se llama sumando directo . $A$ $B$ $A \ o más B$ $Ai}$ $\bigoplus_{i\in I}A_{i}$ $Ai}$ $\bigoplus_{i\in I}A_{i}$

Suma directa de un número finito de subespacios

Se dice que un espacio lineal es la suma directa de sus subespacios : $X$ $M_1,\puntos,M_n$

X = M_1\oplus\dots\oplus M_n,

si cada vector se representa como una suma $x\en X$

x=m_{1}+\dots +m_{n},\quad m_{i}\in M_{i},\quad (\ast)

y de una manera única.

Comentario

La última condición ("de una manera única") es muy esencial. Sin él, solo obtenemos la definición de la suma de subespacios (indicada por ). De la definición de un espacio lineal se sigue que la condición de unicidad de la expansión ( ) para cada vector es equivalente a la condición de unicidad de la expansión ( ) solo para el vector cero (para todos los términos en la suma ( ) ). $X = M_1 +\puntos+ M_n$ $\ ast$ $x\en X$ $\ ast$ $x=0$ $\ ast$ $m_i=0$

Ejemplos

Un espacio lineal tridimensional es la suma directa de un plano (es decir, un subespacio bidimensional) y cualquier línea (subespacio unidimensional) que no se encuentra en este plano, así como la suma directa de tres líneas cualquiera. que no están en el mismo plano. El espacio lineal tridimensional es la suma de dos planos no coincidentes, pero no es una suma directa de ellos, ya que la intersección de los planos da una línea recta (y por lo tanto el vector cero se puede representar de infinitas formas: , donde y son vectores opuestos en esta línea). $0=m_1+m_2$ $m_1$ $m_2$

El espacio de polinomios de grado como máximo (en un número fijo de variables) se puede representar como una suma directa donde es el subespacio de polinomios homogéneos de grado . Si eliminamos la condición de homogeneidad en la definición, entonces la suma ya no será directa. $norte$ $M_0 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_n,$ $Mi}$ $i$ $Mi}$

Suma directa de un número finito de espacios

El concepto de suma directa se extiende al caso en que inicialmente no son subespacios de ningún espacio lineal ambiental único. Para evitar confusiones, la suma directa en este sentido se denomina suma directa externa , mientras que la suma directa de los subespacios se denomina suma directa interna . $X = M_1\oplus\dots\oplus M_n$ $M_1,\puntos,M_n$

Sean espacios vectoriales sobre el campo . Definimos el conjunto portador como un producto cartesiano de conjuntos e introducimos operaciones en el espacio vectorial usando las fórmulas $M_1,\l puntos M_n$ $k$ $X$ $X = M_1\veces\puntos\veces M_n$

(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) \quad x_i,y_i \in M_i \quad (*)

\alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i \in M_i, \alpha\in K \quad (**)

Para cada uno hay incrustaciones naturales tales que es exactamente el conjunto de esos vectores, todas cuyas coordenadas en el producto directo, excepto la coordenada -ésima, son iguales a cero. Si identificamos los espacios con los correspondientes subespacios en , cada vector se puede representar de forma única ya que, por tanto, es una suma directa interna . $i$ $f:M_i\to X$ $f(M_i)$ $i$ $Mi}$ $X$ $x\en X$ $x=m_1+\puntos+m_n,$ $m_i\en M_i,$ $X$ $Mi}$

La suma directa de módulos sobre un anillo (y en particular la suma directa de grupos abelianos que son módulos sobre el anillo de enteros) se define de manera similar . $k$

Suma directa de un conjunto arbitrario de espacios

Sólo al considerar la suma directa de un número infinito de espacios se manifiesta su diferencia con el producto directo de estos espacios. Sea una familia indexada de espacios vectoriales sobre el campo , entonces su suma directa es el conjunto de sumas formales finitas $Mi}$ $k$

\sum\limits_{i\in I} x_i, \; x_i\en M_i

con operaciones de suma por componentes y con multiplicación por un escalar : $\alfa \in K$

\alpha(\sum_{i\en I} x_i)=\sum_{i\en I} \alpha x_i

Obviamente, la suma de dos sumas finitas es nuevamente una suma finita, por lo que la suma directa se cierra bajo operaciones de espacio vectorial. Para determinar la suma directa de módulos, basta con sustituir el campo por algún anillo. $k$

Propiedades de suma directa

Si el espacio vectorial es de dimensión finita, entonces . Afirmaciones similares son válidas para el rango de un grupo abeliano y la longitud del módulo . $X$ $\dim X = \dim M_1+\ldots+\dim M_n$
La unión de bases de subespacios lineales ) es una base . $M_i\;(i=1,\puntos,n$ $X$
Cada espacio vectorial sobre un campo es isomorfo a una suma directa de algún conjunto de copias . Esto también se aplica a los módulos gratuitos . $k$ $k$
La operación de suma directa de dos espacios es conmutativa y asociativa salvo isomorfismo .
El grupo de homomorfismos K -lineales de una suma directa de espacios es isomorfo al producto de grupos de homomorfismos de espacios separados:

\operatorname{Hom}_K\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_K\left(M_i,L\right).

En particular, el espacio dual a la suma directa de espacios es isomorfo al producto de los espacios duales a los componentes de la suma directa.

Véase también

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Tomo 1. Estructuras algebraicas. Álgebra lineal y multilineal - M.: GIFML, 1962.
Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal, - M .: Nauka, 1971.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría, - M .: Nauka, 1986.
Faddeev D. K. Conferencias sobre álgebra, - M .: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.