Grupo de Schrödinger
El grupo de Schrödinger es el grupo de simetría del espacio de configuración de la ecuación de Schrödinger . Está formado por transformaciones que asignan puntos físicamente equivalentes del espacio de configuración entre sí. El grupo de Schrödinger se puede definir a partir de consideraciones físicas generales. Incluye: una transformación que permuta electrones; una transformación que gira el sistema de coordenadas; Transformación galileana [1] .
Para el grupo de Schrödinger, la ecuación de Schrödinger de una partícula libre de la forma:
bajo la transformación galileana de la forma:
y
se puede obtener el álgebra de Schrödinger.
Álgebra de Schrödinger
El álgebra de Schrödinger es el álgebra de Lie del grupo de Schrödinger.
Contiene el álgebra galileana con extensión central.
[2]![{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\epsilon _{ijk}J_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dbe6cc5b93a256c080cf0656922bd3cd1f91ec)
![{\displaystyle [J_{i},P_{j}]=i\epsilon _{ijk}P_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563d5076d817afbce022792b1f06daa3b5667e0e)
![{\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77785f2bee4f038b023a457545a28ba4dff05fe)
![{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0,[K_{i},K_{j}]=0,[K_{i},P_{j}]=i\delta _{ij} METRO,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4f50a9236ecfaff2669f4c4a71672ac1f13803)
![{\displaystyle [H,J_{i}]=0,[H,P_{i}]=0,[H,K_{i}]=iP_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601ac3b6372042732e0fa9102e1acfc92f3e0d00)
![[H_{i},H_{j}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8d32f1a80df904b21d33f702337372bc13c8c3)
Aquí
es el operador del momento angular total correspondiente a las rotaciones , es el operador de cantidad de movimiento correspondiente al desplazamiento en el espacio por el segmento , es el operador de energía correspondiente al desplazamiento del punto de referencia a lo largo de la escala de tiempo por , es el operador correspondiente a la transformación galileana . [2]![{\displaystyle J=L+S=\left[QP\right]+S=-i\left[P{\frac {\parcial }{\parcial P))\right]+S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb83f803a1f1f0b2ce44d27afe0dce22ebd50521)
La expansión central M se interpreta como una masa no relativista y corresponde a la simetría de la ecuación de Schrödinger bajo transformaciones de fase (y corresponde a la conservación de la probabilidad).
El álgebra de Schrödinger tiene dos cantidades invariantes: [2]
- aquí se puede considerar como energía interna. - aquí se puede considerar como el momento interno de la cantidad de movimiento de la partícula.
![\left(MJ-\left[KP\right]\right)^{2}=M^{2}S^{2}=M^{2}s(s+1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550d3df2796271636a11c31f23fac9d05b7c3448)
También hay dos generadores, que denotaremos por y . Tienen las siguientes relaciones de conmutación:
![{\displaystyle [H,C]=iD,[C,D]=-2iC,[H,D]=2iH,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7825eec8a2f7c5cacd3f8f45b8bc39d3f869d505)
![{\displaystyle [P_{i},D]=iP_{i},[K_{i},D]=-iK_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d014532912fae3da989759984bcb1f21d0ff287)
![{\ estilo de visualización [P_{i},C]=-iK_{i},[K_{i},C]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fa7ed146d041922f9942c3b0c3afe941eec5a4)
![{\ estilo de visualización [J_{i},C]=[J_{i},D]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a7de5c855ed5704c46caced0166605ca8a8819)
Generadores , y formar un álgebra .
El papel del grupo de Schrödinger en la física matemática
Aunque el grupo de Schrödinger se define como el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger libre, se realiza en algunos sistemas no relativistas con interacción (por ejemplo, átomos fríos en un punto crítico).
El grupo de Schrödinger de d dimensiones del espacio puede integrarse en un grupo conforme relativista en d+1 dimensiones SO(2,d+2). Esta incrustación corresponde al hecho de que se puede derivar la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación sin masa de Klein-Gordon utilizando la compactación de Kaluza-Klein .
Notas
- ↑ Wigner, 1961 , pág. 131.
- ↑ 1 2 3 Fundamentos de la mecánica cuántica, 1967 , p. 390.
Literatura
- CR Hagen, Transformaciones conformes y de escala en la teoría de campos covariantes de Galileo, Phys. Rvdo. D 5, 377-388 (1972)
- Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Álgebras conformes galileanas y AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009
- DTSon, Hacia una correspondencia AdS/átomos fríos: Una realización geométrica de la simetría de Schrödinger, Phys. Rvdo. D78, 046003 (2008)
- Kaempfer F. Fundamentos de la mecánica cuántica. — M .: Mir, 1967. — 391 p.
- Wigner E. Teoría de grupos. - M. : IL, 1961. - 444 p.