Número de Liouville

Un número de Liouville es un número irracional que se puede aproximar mediante números racionales, de modo que para cualquier número entero hay infinitos pares de números enteros ( ) tales que: $X$ $norte$ $(p, q)$ $q>1$

{\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n))))

Un número diofántico [1] es un número irracional que no se puede representar de esta forma, es decir, cuando se aproxima por un número racional, el error es al menos una cierta potencia del denominador:

{\displaystyle \exists C,\alpha >0\colon \quad \forall p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \quad \left|x-{\frac {p}{q} }\right|\geqslant {\frac {C}{q^{\alpha ))))

Por el teorema de aproximación de números algebraicos de Liouville , todo número irracional algebraico es diofántico. En particular, por lo tanto, cualquier número de Liouville es trascendental , lo que hace posible construir explícitamente números trascendentales como sumas de series superrápidas convergentes de números racionales.

Los números diofánticos son métricamente típicos: su conjunto tiene medida completa de Lebesgue . Los números de Liouville, por el contrario, son típicos desde un punto de vista topológico : su conjunto es residual .

La medida de irracionalidad de los números de Liouville: además, si la medida de irracionalidad de un número es infinita, entonces es de Liouville (a veces se toma esta propiedad como la definición de los números de Liouville). ${\ estilo de visualización \ mu (x) = + \ infinito}$

El ejemplo clásico de un número de Liouville es la constante de Liouville , definida como:

\sum _{{k=1}}^{\infty}10^{{-k!}}=0{,}1100010000000000000000010000\ldots

Notas

↑ Milnor J. Dinámica holomorfa. Conferencias introductorias = Dinámica en una variable compleja. Conferencias introductorias. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas", 2000.