Medida de irracionalidad

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Una medida de la irracionalidad de un número real es un número real que indica qué tan bien puede ser aproximado por números racionales . $\alfa$ $\mu$ $\alfa$

Definición

Sea un número real, y sea el conjunto de todos los números tales que la desigualdad tiene solo un número finito de soluciones en números enteros y : $\alfa$ $M(\alfa )$ $\mu$ $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ $pags$ $q>0$

M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\; q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\ mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.

Entonces la medida de la irracionalidad de un número se define como el ínfimo : $\mu (\alfa)$ $\alfa$ $M(\alfa )$

\mu (\alfa)=\inf M(\alfa).

Si , entonces supongamos . $M(\alfa)=\varnada$ $\mu (\alpha)=+\infty$

En otras palabras, es el número más pequeño tal que para cualquier para todas las aproximaciones racionales con un denominador suficientemente grande es cierto que . $\mu$ $\varepsilon >0$ ${\frac{p}{q))$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{{\mu +\varepsilon }}}}$

Posibles valores de la medida de irracionalidad

$\mu (\alfa)=1$ si y solo si es un número racional. $\alfa$
Si es un número irracional algebraico , entonces . $\alfa$ $\mu (\alfa)=2$
Si es un número trascendental , entonces . En particular, si , entonces el número se llama número de Liouville . $\alfa$ $\mu (\alfa)\geqslant 2$ $\mu (\alpha)=+\infty$ $\alfa$

Conexión con fracciones continuas

Si es la expansión de un número en una fracción continua y es la fracción continua adecuada, entonces $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots]$ $\alfa$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ $norte$

\mu (\alpha)=1+\limsup \limits_{{n\to +\infty}}{\frac {\ln q_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}=2 +\limsup \limits_{{n\to +\infty}}{\frac {\ln a_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}.

Usando esta fórmula, es especialmente fácil encontrar una medida de irracionalidad para las irracionalidades cuadráticas , ya que sus expansiones en fracciones continuas son periódicas. Por ejemplo, para la sección áurea y luego . $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots]$ $\mu (\varfi)=2$

Teorema de Thue-Siegel-Roth

Por el lema de Dirichlet , si es irracional, entonces hay un número infinito de p y q tales que , es decir, . En 1844, Liouville demostró el teorema de que para cualquier número algebraico de grado , se puede elegir una constante tal que . En 1908, Thue fortaleció esta evaluación. Otros resultados en esta dirección fueron obtenidos por Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . La estimación más precisa fue probada por Roth en 1955, el teorema resultante se llama teorema de Thue-Siegel-Roth . Ella afirma que si es un número irracional algebraico, entonces . Por esta prueba, Roth recibió la Medalla Fields . $\alfa$ $\izquierda|\alfa -{\frac {p}{q}}\derecha|<{\frac {1}{q^{2}}}$ $\mu (\alfa)\geqslant 2$ $\alfa$ $norte$ $c=c(\alfa )$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$ $\alfa$ $\mu (\alfa)=2$

Una medida de la irracionalidad de algunos números trascendentales

Para casi todos los números trascendentales, la medida de irracionalidad es igual a 2. Es bien sabido que , y también se conocen los números de Liouville , que, por definición, tienen una medida de irracionalidad infinita. Sin embargo, para muchas otras constantes trascendentales, se desconoce la medida de la irracionalidad; en el mejor de los casos, se conoce alguna estimación superior. Por ejemplo: $\mu \left(e\right)=2$

$\mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137$ [una]
$\mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891$
$\mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201$
$\mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}09541179$ [2]
$\mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3))}\right)\leqslant 4{,}230464$ [3]
$\mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391$

Véase también

Notas

↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. La medida de irracionalidad de Pi es como máximo 7.103205334137 . archivo.org (2019). Archivado el 17 de octubre de 2020. (indefinido)
↑ Medida de irracionalidad - de Wolfram MathWorld . Consultado el 28 de febrero de 2021. Archivado desde el original el 11 de enero de 2021. (indefinido)
↑ V. A. Androsenko, Medida de la irracionalidad del número π/√3, Izv. CORRIÓ. Ser. Matemáticas. , 2015, volumen 79, número 1, 3–20

Enlaces

Weisstein , Eric W. Medida de irracionalidad en Wolfram MathWorld .