Transformada discreta de Abel

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La transformada discreta de Abel es la siguiente identidad:

\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},

donde , son secuencias , while y . Esta transformación recibió su nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel . En análisis matemático , se utiliza para probar la prueba de convergencia de Dirichlet . ${\ estilo de visualización n \ geqslant m \ geqslant 1}$ ${\ estilo de visualización (a_ {k}), (b_ {k}), (B_ {k})}$ ${\ estilo de visualización (k \ en \ mathbb {N})}$ ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k))$ $B_{0}=0$

La transformada de Abel es la contrapartida discreta de la integración por partes y, en ocasiones, se denomina sumatoria por partes .

Prueba

Tenemos

{\begin{alineado}\sum_{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum_{k=m}^{n}a_{k}(B_{ k}-B_{k-1})=\\&=\sum_{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum_{k=m}^{n}a_{ k}B_{k-1}=\\&=\sum_{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum_{k=m-1}^{n-1} a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum_{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum_ {k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m} B_{m-1}-\sum_{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{alineado}}

QED