Difeomorfismo

Un difeomorfismo es un mapeo de cierto tipo entre variedades suaves.

Definición

Un difeomorfismo es un mapeo suave y uno a uno de una variedad suave en una variedad suave , cuyo inverso también es suave. $f\dos puntos M\a N$ $METRO$ $norte$

Por lo general , la suavidad se entiende como -suavidad, sin embargo, los difeomorfismos con otro tipo de suavidad, en particular, la clase para cualquier natural , se pueden definir de la misma manera . $C^\infty$ $C^k$ $k$

Ejemplos

Los ejemplos más simples de difeomorfismos son transformaciones lineales no degeneradas (afines) de espacios vectoriales (respectivamente, afines) de la misma dimensión.

Definiciones relacionadas

Si existe un difeomorfismo para y , entonces decimos que y son difeomorfos . $METRO$ $norte$ $f\dos puntos M\a N$ $METRO$ $norte$
- Esta relación generalmente se denota como . $M\cong N$
- Tenga en cuenta que solo las variedades de la misma dimensión pueden ser difeomorfas.

El conjunto de difeomorfismos de una variedad en sí mismo forma un grupo llamado grupo de difeomorfismos y denotado por . $METRO$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Dif} \, M}$

Un mapeo se llama difeomorfismo local en un punto si su restricción a alguna vecindad del punto es un difeomorfismo a alguna vecindad del punto . $f\dos puntos M\a N$ $x\en M$ $X$ ${\ estilo de visualización y = f (x) \ en N}$

Propiedades

Todo difeomorfismo es un homeomorfismo.
- Lo opuesto no es verdad. Además, hay variedades suaves homeomorfas pero no difeomorfas (como la esfera exótica ).
Un mapeo uno a uno es un difeomorfismo si y solo si es un mapeo suave y su jacobiano no es cero en ninguna parte. $f\dos puntos M\a N$ $F$

Véase también

homeomorfismo

Literatura

Zorich V. A. Análisis matemático. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 p.
Milnor J., Wallace A. Topología diferencial (curso inicial), - Cualquier edición.
Hirsch M. Topología diferencial, - Cualquier edición.
Spivak M. Análisis matemático sobre variedades. — M.: Mir, 1968.