Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1

se llama la ecuación de Bernoulli (para o obtenemos una ecuación lineal no homogénea u homogénea). $n=0$ $n=1$

At es un caso especial de la ecuación de Riccati . Nombrado en honor a Jacob Bernoulli , quien publicó esta ecuación en 1695. $n=2$

El método de resolución con la ayuda de un reemplazo, que reduce esta ecuación a una lineal, fue encontrado por su hermano Johann Bernoulli en 1697. [una]

Método de solución

La primera forma

Divide todos los términos de la ecuación por

{\ estilo de visualización y^{n},}

obtenemos

{\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).

haciendo una sustitución

{\ Displaystyle z = y ^ {1-n}}

y diferenciando, obtenemos:

{\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.

Esta ecuación se reduce a una lineal:

{\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)

y se puede resolver por el método de Lagrange (variación constante) o por el método del factor integrante.

La segunda forma

vamos a reemplazar

y=uv,

después:

{\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.

Elijamos para que $v(x)\no \equiv 0$

{\dot {v}}+a(x)v=0,

para ello es suficiente resolver la ecuación con variables separables de 1er orden. Después de eso, para la definición, obtenemos una ecuación , una ecuación con variables separables. $tu$ ${\frac {{\dot {u}}}{u^{n}}}=b(x)v^{{n-1}}$

Ejemplo

La ecuacion

y'-{\frac{2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

dividiendo por obtenemos: ${\ estilo de visualización y^{2},}$

y'y^{{-2}}-{\frac {2}{x}}y^{{-1}}=-x^{2}.

Cambio de variable

w={\frac{1}{y}}

da:

w'={\frac{-y'}{y^{2}}},

w'+{\frac{2}{x}}w=x^{2}.

M(x)=e^{{-2\int {\frac {1}{x}}dx}}=x^{{-2}}.

Dividimos por $M(x)$

w'x^{2}+2xw=x^{4},

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac{1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.

Resultado:

y={\frac{x^{2}}{{\frac{1}{5}}x^{5}+C}}.

Literatura

A. F. Filippov . Colección de problemas sobre ecuaciones diferenciales, - Cualquier edición.
V. V. Stepánov . Curso de ecuaciones diferenciales, - Cualquier edición.
Zelikin M. I. Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones, - Factorial, Moscú, 1998.

Notas

↑ Zelikin M. I. Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones, - Factorial, Moscú, 1998.