Ecuación de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma

{\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)

La ecuación de Riccati también se denomina un análogo multidimensional , es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con variables independientes, cuyas partes derechas son polinomios de segundo grado en variables con coeficientes que dependen de . Las ecuaciones de Riccati unidimensionales y multidimensionales encuentran aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas: geometría algebraica [1] , la teoría de sistemas hamiltonianos completamente integrables [2] , cálculo de variaciones [3] , teoría de aplicaciones conformes , teoría cuántica de campos [4 ] . $(*)$ $x_{1},\ldots,x_{n},$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ $t$

Historia

Un caso especial de tal ecuación:

b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{{\alpha }},\quad (**)

donde son constantes distintas de cero, fue estudiado por primera vez por los matemáticos italianos Jacopo Francesco Riccati y la familia Bernoulli (Daniel, Johann, Nikolai Sr. y Nikolai Jr.) [5] [6] [7] . Encontraron una condición bajo la cual esta ecuación admite separación de variables y, en consecuencia, integración en cuadraturas: o Como demostró Joseph Liouville (1841) , para otros valores la solución de la ecuación no puede expresarse en cuadraturas a partir de funciones elementales; su solución general se puede escribir usando funciones cilíndricas . ${\ estilo de visualización \ alfa, \, a, \, b}$ $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ ${\ estilo de visualización \ alfa = -2.}$ $\alfa$ $(**)$

La ecuación tipo a menudo se denomina ecuación general de Riccati , y la ecuación tipo a menudo se denomina ecuación especial de Riccati . $(*)$ $(**)$

Propiedades

La ecuación de Riccati en el caso es lineal y se puede integrar en cuadraturas. $un(t)=0$
La ecuación de Riccati en el caso es una ecuación de Bernoulli y se integra en cuadraturas usando el cambio $c(t)=0$ $y=1/x.$
La solución general de la ecuación de Riccati es una función lineal-fraccional de la constante de integración y, a la inversa, cualquier ecuación diferencial de primer orden con esta propiedad es una ecuación de Riccati.
Si son soluciones particulares de la ecuación de Riccati correspondientes a los valores de la constante de integración, entonces tenemos la identidad $x_{1}(t),\ldots,x_{4}(t)$ $c_{1},\ldots,c_{4}$

{\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t))):{\frac {x_{4}(t) -x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_ {2}}}:{\frac{c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\cuadrángulo (***)

El lado izquierdo de la identidad , la doble razón de cuatro soluciones particulares, es la primera integral de la ecuación de Riccati. Así, la solución general de la ecuación se restituye a partir de tres soluciones particulares independientes mediante la fórmula . $(***)$ $(***)$

Aplicaciones

En geometría de Riemann, la ecuación de Riccati $S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0$

satisfacer los operadores de forma para superficies equidistantes a lo largo de una geodésica perpendicular a ellas con un campo tangencial . Al igual que la ecuación de Jacobi , esta ecuación se aplica en el estudio de las geodésicas.

T

Variaciones y generalizaciones

La ecuación matricial de Riccati es la ecuación diferencial

{\frac{dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)

con respecto a una matriz cuadrada de orden desconocida , en la que se dan matrices cuadradas de orden con coeficientes dependientes de variables . $X=(x_{{ij}})$ $norte$ $A,B_{1},B_{2},C$ $norte$ $t$

En el cálculo de variaciones, juega un papel importante la ecuación matricial de Riccati de la forma

{\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{{-1}}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t )

con respecto a una matriz cuadrada desconocida de orden , en la que se dan matrices cuadradas de orden con coeficientes dependientes de variables , donde el asterisco significa transposición de . Está estrechamente relacionado con la ecuación de Jacobi para la segunda variación de la integral funcional $W=(w_{{ij}})$ $norte$ $P Q R$ $norte$ $t$ $\det P\neq 0,$

J=\int f(t,x,{\dot x})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),

en un punto estacionario En este caso, las matrices $\widehat x(\cdot).$

P(t)={\Bigl (}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial {\dot x}_{i}\parcial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat x(t)}}),\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{ i }\parcial x_{j))}{\Bigl )}{\Bigl |}_({\widehat x(t)))),\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac { \parcial ^{2}f}{\parcial x_{i}\parcial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_({\widehat x(t))).

Literatura

Zelikin M. I. Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones , - Factorial, Moscú, 1998.
Egorov A. I. Ecuaciones de Riccati, Fizmatlit, Moscú, 2001.
Laufer M. Ya. Sobre la solución de las ecuaciones de Riccati // Laufer M. Ya. Problemas seleccionados de física matemática. Se sentó. artículos.— Severodvinsk: NTO Shipbuilders. académico A. N. Krylova, Sevmashvtuz, Severodv. departamento de Lomonosov. Fondo, 2005.- págs. 137-140.- ISBN 5-7723-0605-9 .

Enlaces

Notas

↑ Wilczinski EJ Geometría diferencial proyectiva de curvas y superficies regladas. Teubner, Leipzig, 1906.
↑ Zakharov V. E., Faddeev L. D. La ecuación de Korteweg-de Vries es un sistema hamiltoniano completamente integrable.
↑ Zelikin M. I. Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones, - Factorial, Moscú, 1998.
↑ Winternitz P. Grupos de mentiras y soluciones de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, págs. 263-331.
↑ Riccati JF Animadversationes in aequationes diferenciales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Suplemento 8.
↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901. (enlace inaccesible)
↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati - Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Florencia, 1992.