Problema weber

El problema de Weber es uno de los problemas de ubicación de producción más famosos . Nombrado en honor al economista alemán Alfred Weber . La tarea es encontrar un punto en el plano que minimice la suma de los precios de transporte desde este punto a n puntos de consumo, donde a los diferentes puntos de consumo se les asigna su propio precio de transporte por unidad de distancia.

El problema de Weber generaliza la búsqueda de la mediana geométrica , por lo que se supone que los precios del transporte son iguales para todos los puntos de consumo, y el problema de encontrar el punto de Fermat , la mediana geométrica de tres puntos. Por esta razón, el problema a veces se llama problema de Fermat-Weber, aunque el mismo nombre también se usa para encontrar la mediana geométrica no ponderada. El problema de Weber, a su vez, se generaliza al problema de atracción-repulsión, lo que permite precios negativos, por lo que para algunos puntos es preferible una mayor distancia.

Definición e historia de los problemas de Fermat, Weber y atracción-repulsión

tarea de granja problema weber La tarea de atracción
- repulsión
formulado Granja (antes de 1640) Simpson (1750) Tellier (1985)
Solución geométrica
del problema del triángulo .		 Torricelli (1645) Simpson (1750) Teller (2013)
Solución numérica directa
del problema del triángulo 		Tellier (1972) Tellier (1972) Tellier (1985)
Solución numérica iterativa
del problema 		Kuhn y Kuen (1962) Kuhn y Kuen (1962) Chen, Hansen, Jomar y Tui (1992)

En el caso de un triángulo, el problema de Fermat es encontrar un punto D con respecto a tres puntos A, B y C tal que la suma de las distancias de D a cada uno de estos tres puntos sea mínima. El problema fue formulado por el famoso matemático francés Pierre de Fermat antes de 1640. El problema puede considerarse como el verdadero comienzo del problema de ubicación de la producción. Torricelli encontró una solución geométrica al problema alrededor de 1645, pero no hubo una solución numérica directa durante más de 325 años. Kuhn y Kuen [1] encontraron una solución iterativa al problema general de Fermat en 1962, y en 1972 Luc-Normand Tellier [2] encontró una solución numérica directa (trigonométrica) al problema triangular de Fermat. La solución de Kuhn y Kuen es válida para polígonos con más de tres lados, lo que no es el caso de la solución de Tellier por las razones que se explican a continuación.

En el caso de un triángulo, la tarea de Weber es encontrar tal punto D con respecto a los tres puntos A, B y C que la suma del costo de transporte desde el punto D a los otros tres puntos sea mínima. El problema de Weber es una generalización del problema de Fermat porque utiliza fuerzas de atracción iguales y desiguales (ver más abajo), mientras que en el problema de Fermat las fuerzas son las mismas. El problema fue formulado y resuelto por primera vez para el caso de un triángulo por Thomas Simpson en 1750 [3] [4] . Kuhn y Kuen encontraron una solución iterativa en 1962, y la solución de Tellier, encontrada en 1972, se aplica tanto a los problemas de Weber como a los de Fermat. La solución de Kuhn y Kuen se aplica al caso de un polígono con más de tres lados.

En el caso más simple, el problema de atracción-repulsión es encontrar un punto D tal con respecto a los tres puntos A 1 , A 2 y R que las fuerzas de atracción aplicadas de los puntos A 1 y A 2 aplicaron y la fuerza de repulsión del punto R se compensan [5] . El problema generaliza tanto el problema de Fermat como el problema de Weber. El problema fue formulado y resuelto para un triángulo en 1985 por Luc-Normand Tellier [6] . En 1992, Chen, Hansen, Jomar y Tui encontraron una solución al problema de Tellier para polígonos de más de tres lados.

Solución geométrica de Torricelli al problema de Fermat para un triángulo

La solución geométrica de Evangelista Torricelli del problema del triángulo de Fermat se basa en dos observaciones:

1. El punto D tiene una posición óptima si cualquier cambio desde este punto conduce a un aumento en la distancia total a los puntos A, B y C, lo que significa que el punto óptimo es solo el punto en el que un cambio infinitesimal hacia uno de los tres puntos es igual a la suma de los cambios en los otros dos puntos. En otras palabras, el punto D es igualmente atraído por los puntos A, B y C.

2. En un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo, los ángulos opuestos suman 180°. Podemos formularlo de la siguiente manera: si cortamos el círculo con la cuerda AB, obtenemos los arcos del círculo, digamos, AiB y AjB. Cualquier ángulo ∠AiB basado en el arco AiB es el mismo para cualquier punto i, y el ángulo ∠AjB basado en el arco AjB es el mismo para cualquier punto j. Además, los ángulos ∠AiB y ∠AjB suman 180°.

Se puede probar que de la primera observación se sigue que en el punto óptimo los ángulos en los vértices de los triángulos basados ​​en los segmentos AD, BD y CD deben ser iguales a 360° / 3 = 120°. De esto, Torricelli concluyó que:

1. Si el triángulo ABD, cuyo ángulo ∠ADB es igual a 120°, forma un cuadrilátero convexo ABDE inscrito en una circunferencia, el ángulo ∠AEB del triángulo ABE debe ser igual a (180° − 120°)= 60°;

2. Una forma de obtener un punto D para el cual el ángulo ∠ADB es de 120° es construir un triángulo equilátero ABE (dado que todos los ángulos de un triángulo equilátero miden 60°), donde el punto E está fuera del triángulo ABC, y dibujar un círculo alrededor de este triángulo. Entonces, para todos los puntos D' de la circunferencia circunscrita del triángulo que está dentro del triángulo, el ángulo ∠AD'B es igual a 120°;

3. Lo mismo se puede hacer con los triángulos ACD y BCD;

4. Esto lleva a la construcción de los triángulos equiláteros ACF y BCG, donde F y G están fuera del triángulo ABC, y también a la construcción de otros dos círculos alrededor de estos triángulos equiláteros. Los tres círculos se intersecan en un punto D y los ángulos basados ​​en los segmentos AD, BD y CD serán iguales a 120°, lo que prueba la posición óptima del punto.

Solución geométrica de Simpson del problema del triángulo de Weber

La solución geométrica de Simpson al llamado "problema del triángulo de Weber" (que fue formulado por Thomas Simpson en 1750) se deriva directamente de la solución de Torricelli. Simpson y Weber enfatizan el hecho de que, en el problema de minimización del transporte, el beneficio de acercarse a los puntos de consumo A, B o C depende de lo que se transporta ya qué costo. Por lo tanto, el beneficio de acercarse a algunos cambios de distancia y los ángulos ∠ADB, ∠ADC y ∠BDC ya no deberían ser 120°.

Simpson demostró que los triángulos ABE, ACF y BCG, construidos de manera similar a la solución de Torricelli, donde E, F y G están fuera del triángulo ABC, deben ser proporcionales a las fuerzas de atracción. En el caso del problema de Fermat, los triángulos eran equiláteros porque las fuerzas de atracción son las mismas

La solucion es:

1. En el triángulo ABE en construcción, el lado AB es proporcional a la fuerza de atracción C w hacia C, el lado AE es proporcional a la fuerza de atracción B w hacia B, y el lado BE es proporcional a la fuerza de atracción A w hacia A.

2. En el triángulo BCG en construcción, el lado BC es proporcional a la fuerza de atracción A w hacia A, el lado BG es proporcional a la fuerza de atracción B w hacia B y el lado CG es proporcional a la fuerza de atracción C w hacia C;

3. El punto óptimo D está ubicado en la intersección de dos círculos alrededor de los triángulos construidos ABE y BCG.

Se puede construir un tercer triángulo ACF, donde F está fuera del triángulo ABC, en el lado AC y se puede construir un tercer círculo alrededor de este triángulo. Este tercer círculo corta a los otros dos círculos en el mismo punto D.

Solución geométrica de Tellier del problema de atracción-repulsión

Para el problema de atracción - repulsión en el caso de un triángulo, existe una solución geométrica. Fue descubierto relativamente recientemente [7] . Esta solución geométrica difiere de las dos anteriores, ya que en este caso los triángulos de fuerzas que se están construyendo se superponen al triángulo de colocación de los puntos A 1 A 2 R (aquí A 1 y A 2 son los puntos de atracción, y R es el punto de repulsión).

La solucion es:

1. En el triángulo RA 2 H en construcción, que se superpone parcialmente al triángulo de colocación de los puntos A 1 A 2 R, el lado RA 2 es proporcional a la fuerza de atracción A1 w hacia A 1 , el lado RH es proporcional a la fuerza de atracción A2 w hacia A 2 , y el lado A 2 H es proporcional a la fuerza de repulsión R w en la dirección que se aleja de R.

2. En el triángulo RA 1 I en construcción, que está parcialmente superpuesto al triángulo de ubicación de los puntos A 1 A 2 R, el lado RA 1 es proporcional a la fuerza de atracción A2 w en la dirección de A 2 , el lado RI es proporcional a la fuerza de atracción A1 w en la dirección hacia A 1 , y el lado A 1 I es proporcional a la fuerza de repulsión R w en la dirección que se aleja de R;

3. El punto óptimo D está ubicado en la intersección de dos círculos circunscritos alrededor de los triángulos construidos RA 2 H y RA 1 I. No se obtiene la solución si una de las fuerzas es mayor que la suma de las otras dos o si los ángulos no son comparables. En algunos casos, no hay violaciones anteriores (ninguna fuerza es mayor que la suma de las otras dos y los ángulos son comparables), pero la solución óptima se encuentra en el punto con la mayor fuerza de atracción.

La solución trigonométrica de Tellier de los problemas de Fermat y Weber

Más de 332 años separan la formulación del problema de Fermat para un triángulo y el descubrimiento de una solución numérica no iterativa, aunque existió una solución geométrica durante casi todo el período de tiempo. Esto se explica por el hecho de que los comienzos de los tres vectores dirigidos a los tres puntos de atracción pueden no coincidir. Si coinciden y se encuentran en el punto óptimo P, los vectores hacia A, B y C y los lados del triángulo de puntos de atracción ABC forman los seis ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6, y los tres vectores forman ángulos ∠α A , ∠α B y ∠α C . Es fácil escribir las siguientes seis igualdades relacionando seis incógnitas (los ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6) con seis valores conocidos (los ángulos ∠A, ∠B y ∠C están dados, y los valores de los ángulos ∠α A , ∠α B y ∠α C dependen únicamente de los valores relativos de las tres fuerzas de atracción a los puntos A, B y C):

∠1 + ∠2 = ∠C; ∠3 + ∠4 = ∠A; ∠5 + ∠6 = ∠B; ∠1 + ∠6 + ∠α A = 180°; ∠2 + ∠3 + ∠α B = 180° ; ∠4 + ∠5 + ∠α C = 180°.

Desafortunadamente, este sistema de seis ecuaciones es indeterminado, y la posibilidad de que tres vectores comiencen en la dirección de los puntos de atracción explica por qué. En el caso de un desajuste, es fácil ver que las ecuaciones siguen siendo verdaderas. Sin embargo, la posición óptima del punto P desaparece debido al "agujero" triangular dentro del triángulo. De hecho, como ha demostrado Tellier (1972) [2] , este "agujero" triangular tiene exactamente las mismas proporciones que los "triángulos de fuerza" que construimos en la solución geométrica de Simpson.

Para resolver el problema, debemos agregar una séptima ecuación a estas seis ecuaciones, que debe evitar la aparición de un "agujero" triangular en el centro del triángulo de puntos de atracción. En otras palabras, los comienzos de los vectores deben coincidir.

La solución de los problemas de Tellier de Fermat y Weber para un triángulo se realiza en tres pasos:

1. Determine los ángulos ∠α A , ∠α B y ∠α C , en los que las tres fuerzas de atracción A w, B w y C w se equilibran entre sí, proporcionando equilibrio. Para ello, utilizamos las siguientes igualdades:

porque ∠α UN = −( segundo w 2 + C w 2 − UN w 2 ) / (2 segundo w C w ) ; porque ∠α segundo = −( UN w 2 + C w 2 − segundo w 2 ) / (2 UN w C w ) ; porque ∠α C = −( UN w 2 + segundo w 2 − C w 2 ) / (2 UN w segundo w) ;

2. Determinar el valor del ángulo ∠3 (esta igualdad asegura la coincidencia de los puntos D y E):

tan ∠3 = (k sen k') / (1 + k cos k') ;

donde k = (CB/CA) (sen ∠α B / sin ∠α A ) y k' = (∠A + ∠B + ∠α C ) − 180° ;

3. Resolvemos un sistema de ecuaciones en el que ya se conoce ∠3:

∠1 + ∠2 = ∠C; ∠3 + ∠4 = ∠A; ∠5 + ∠6 = ∠B; ∠1 + ∠6 + ∠α A = 180°; ∠2 + ∠3 + ∠α B = 180° ; ∠4 + ∠5 + ∠α C = 180°.

Solución trigonométrica de Tellier del problema de atracción-repulsión

Tellier (1985) [6] extendió el problema de Fermat-Weber al caso de las fuerzas repulsivas. Considere el caso de un triángulo en el que actúan dos fuerzas de atracción A1 w y A2 w y una fuerza de repulsión R w. Aquí, como en el caso anterior, es posible el caso de desajuste de los comienzos de tres vectores. Por lo tanto, la solución debe requerir su coincidencia. La solución trigonométrica de Tellier a este problema es la siguiente:

1. Determina el ángulo ∠e:

porque ∠e = -( A1 w 2 + A2 w 2 − R w 2 ) / (2 A1 w A2 w) ;

2. Determinar el ángulo ∠p:

porque ∠p = -( A1 w 2 + R w 2 − A2 w 2 ) / (2 A1 w R w) ;

3. Determina el ángulo ∠c:

∠c = 180° − ∠p ;

4. Determina el ángulo ∠d:

∠d = ∠e − ∠c ;

5. Determina el valor del ángulo ∠3 (esta ecuación requiere la coincidencia de los puntos D y E):

tan ∠3 = x / y ;

donde x = sen ∠f - (RA 1 /RA 2 )(sen ∠d sen [∠e − ∠b] / sen ∠c) ; y y = (RA 1 /RA 2 )(sen ∠d cos [∠e − ∠b] / sin ∠c) − cos ∠f ;

6. Determina el ángulo ∠1:

∠1 = 180° - ∠e - ∠3 ;

7. Determina el ángulo ∠5:

∠5 = 180° - ∠b - ∠c - ∠1 ;

8. Determina el ángulo ∠2:

∠2 = ∠a - ∠5 .

Solución iterativa de los problemas de Fermat, Weber y atracción-repulsión

Si el número de fuerzas es mayor que tres, se vuelve imposible determinar los ángulos sin considerar la geometría del polígono del punto de atracción. Los métodos geométricos y trigonométricos son impotentes. En estos casos, se utilizan métodos de optimización iterativos. Kuhn y Kuen (1962) [1] propusieron un algoritmo basado en mínimos cuadrados ponderados iterativos generalizando el algoritmo de Weissfeld para el problema no ponderado . Su método funciona para los problemas de Fermat y Weber, que tienen muchas fuerzas, pero no para el problema de atracción-repulsión. En este método, para encontrar una aproximación a un punto y que minimice la suma ponderada de distancias

se toma una solución inicial y 0 y en cada paso el algoritmo se acerca a la solución óptima eligiendo y j  + 1 , minimizando la suma ponderada de distancias

,

donde los pesos iniciales w i se dividen por la distancia del punto a la aproximación del paso anterior. Cada aproximación sucesiva se puede obtener como un promedio ponderado de la única solución óptima ponderada de mínimos cuadrados:

Para el problema de atracción-repulsión, se puede hacer referencia al algoritmo propuesto por Chen, Hansen, Jomar y Tui (1992) [8] .

Interpretación de la teoría del valor de la tierra a la luz del problema de atracción-repulsión

En el mundo de la economía espacial, las fuerzas repulsivas son omnipresentes. El valor de la tierra es su principal ilustración. De hecho, una parte significativa de la teoría del valor de la tierra , tanto rural como urbana, se puede resumir de la siguiente manera.

En el caso de que todo el mundo se sienta atraído por un único punto de atracción (mercado rural o distrito comercial central de una ciudad), la competencia de varios postores que quieren ubicarse en el centro forma el precio del suelo, que transforma el punto de atracción del sistema en un punto de repulsión, determinado por el alto costo de la tierra, y cada residente y actividad comercial se ubica en el punto donde las fuerzas de atracción y repulsión se anulan.

El problema de la atracción-repulsión y la nueva geografía económica

Ottavino y Thiess (2005) [9] consideran el problema de Tellier como un preludio de la “nueva geografía económica” (NEG) desarrollada en la década de 1990, por la cual Paul Krugman recibió el Premio Nobel de Economía en 2008. El concepto de fuerzas atractivas es relacionado con el concepto de aglomeración o fuerzas centrípetas de la NEG, y el concepto de fuerzas repulsivas está relacionado con el concepto de dispersión o fuerzas centrífugas.

Notas

  1. ↑ 1 2 Kuhn y Kuenne, 1962 , p. 21–34.
  2. ↑ 12 Tellier , 1972 , p. 215–233.
  3. ↑ Simpson, 1750 .
  4. ↑ Weber, 1922 .
  5. ↑ Las fuerzas similares a las fuerzas gravitatorias o eléctricas no se refieren aquí, ya que estas fuerzas no dependen de la distancia.
  6. ↑ 12 Tellier , 1985 .
  7. ↑ Tellier, 2013 .
  8. ↑ Chen, Hansen, Jaumard, Tuy, 1992 , pág. 467–486.
  9. ↑ Ottaviano, Thisse, 2005 , p. 1707-1725

Literatura

Enlaces