Tarea de napoleón

El problema de Napoleón  es el famoso problema de construcción de la brújula . En este problema , se dan un círculo y su centro. El problema es dividir la circunferencia en cuatro arcos iguales usando solo un compás . Napoleón fue un famoso matemático, pero no se sabe si inventó o resolvió este problema. Al amigo de Napoleón, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni , se le ocurrió la restricción de usar solo un compás (no usar una regla) en construcciones geométricas. Pero, de hecho, el problema anterior es más simple que el verdadero problema napoleónico de encontrar el centro de un círculo usando solo una brújula. A continuación se presenta la solución de ambos problemas y se dan las demostraciones.

El libro de Georg Mohr de 1672 "Euclides Danicus" anticipó la idea de Mascheroni, pero no fue descubierto hasta 1928.

Encontrar el centro de un círculo dado

Edificio

Sea dado un círculo C , cuyo centro debe ser encontrado. Tome cualquier punto A en C.

El círculo C 1 con centro en A (de cualquier radio, véase la nota a continuación) interseca a C en los puntos B y B' .

Dos círculos C 2 con centros B y B' y radios AB se cortan en el punto C .

El círculo C 3 con centro en el punto C y radio AC corta a C 1 en los puntos D y D' .

Dos circunferencias C 4 centradas en los puntos D y D' y con el mismo radio AD se cortan en los puntos A y O , el centro deseado de la circunferencia C .

Nota: Para que la construcción funcione, el radio del círculo C 1 no debe ser ni demasiado pequeño ni demasiado grande. Más precisamente, este radio debería estar entre la mitad del radio del círculo C y su diámetro. Si el radio es mayor que el diámetro C , C 1 no cortará a C . Si el radio C 1 es menor que la mitad del radio del círculo C , el punto C estará entre A y O y C 3 no se cruzará con C .

Prueba

La idea de la construcción es encontrar la longitud b²/a usando un compás, cuando se conocen las longitudes de a y b y al mismo tiempo a/2 ≤ b ≤ 2a.

En la figura de la derecha, se dibuja un círculo de radio a con el centro en el punto O . En él se selecciona un punto A y se trazan los puntos B y B' , situados a una distancia b de A. El punto A' se encuentra frente a A , pero no es necesario construirlo (aquí se necesitaría una regla). De manera similar, denotemos un punto (imaginario) H en la intersección de AA' y BB' . El punto C se puede encontrar a partir de B y B' dibujando círculos de radio b .

El triángulo ABA' tiene un ángulo recto en el punto B y el segmento de línea BH es perpendicular a AA' , entonces:

¿Dónde obtenemos y .

En la compilación anterior, esta configuración ocurre dos veces:

Entonces O es el centro del círculo C.

División de un círculo dado en cuatro arcos iguales

Dibujemos un arco con centro en cualquier punto X de la circunferencia C que pase por el centro O y corte a C en los puntos V e Y . Hagamos lo mismo con el punto Y , obtenemos las intersecciones del círculo C en los puntos X y Z. Note que los segmentos OV, OX, OY, OZ, VX, XY e YZ tienen la misma longitud, igual al radio del círculo C .

Ahora dibujemos un arco con centro en V que pase por Y y un arco con centro en Z que pase por X , marcando el punto de intersección de estos arcos con una T. Tenga en cuenta que las distancias VY y XZ son iguales al radio del círculo C.

Dibujemos un arco con un radio igual a OT ( radio del círculo C ) y centro en el punto Z , cortará al círculo C en los puntos U y W . UVWZ es un cuadrado, y por lo tanto los arcos de círculo C UV, VW, WZ y ZU son iguales entre sí y son cuartos de círculo C.

Véase también

Literatura