Tarea del consumidor

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La tarea del consumidor es un modelo formalizado de elección del consumidor entre diferentes alternativas (conjuntos de bienes ) bajo restricciones dadas [1] . La tarea del consumidor, junto con la tarea de la empresa, es fundamental en la construcción de modelos de equilibrio parcial y general , así como para modelos macroeconómicos que se basan en la idea de equilibrio general. La tarea del consumidor le permite construir la función de demanda , y la tarea de la empresa es la función de oferta . Los modelos de equilibrio general nos permiten analizar el efecto de varios choques, incluida la política del gobierno.

El conjunto en el que se hace la elección se denomina conjunto de alternativas válidas . En este caso, la elección del consumidor puede verse limitada aún más por el hecho de que los bienes son bienes y tienen un precio , y el ingreso del consumidor es fijo. Luego se introduce una restricción presupuestaria en el problema y se considera la elección dentro del conjunto presupuestario . También se supone que sobre el conjunto de alternativas aceptables , se establece una relación de preferencia , que guía al consumidor a la hora de realizar una elección. En particular, las preferencias pueden representarse mediante una función de utilidad que permite clasificar las alternativas.

La mayoría de las veces, se cree que las relaciones de preferencia son racionales y que el consumidor busca elegir la alternativa más preferida del conjunto de opciones disponibles. Si hay una función de utilidad y se da una restricción presupuestaria, entonces el problema de elección se reduce a maximizar la utilidad para precios e ingresos dados, o minimizar el costo de adquirir bienes a precios dados y un nivel de utilidad (mínimo aceptable) dado.

Los problemas de maximización de la utilidad y minimización de costos son duales y su solución conduce al mismo resultado óptimo.

La solución al problema del consumidor es la función (mapeo) de la demanda. En el caso del problema de maximización de la utilidad, la solución es la función marshalliana (demanda walrasiana) , y en el caso del problema de minimización de costes, la función de demanda hicksiana .

Formalización

En términos de preferencias

El planteamiento del problema en términos de preferencias es el más general, ya que las preferencias no siempre pueden representarse mediante una función de utilidad.

Si se establece una relación de preferencia sobre el conjunto de alternativas factibles , entonces la tarea del consumidor se reduce a encontrar la alternativa más preferida del conjunto de alternativas disponibles. Formalmente, esto significa que la opción óptima no es peor que cualquier otra: $X$ ${\displaystyle \{\succeq\))$

x^{*}\succeq x,\,\forall x\in X

Si además se supone que los bienes son bienes y tienen un precio, y el ingreso del consumidor es limitado, entonces la búsqueda se realiza dentro del conjunto presupuestario . Entonces la optimalidad de la elección significa que cualquier otro conjunto admisible que sea estrictamente mejor (en el sentido de esta relación de preferencia) que el dado no pertenece al conjunto presupuestario:

x\succ x^{*}\implica p\cdot x>R

La solución al problema del consumidor no siempre es la única. En el caso general, varias alternativas equivalentes pueden satisfacer el criterio de optimalidad a la vez.

Resolver el problema usando preferencias en el caso general es difícil. Por lo tanto, la suposición más común es que las preferencias pueden representarse mediante una función de utilidad y se impone una restricción presupuestaria a la elección del consumidor. El uso de una función de utilidad significa que el consumidor se comporta racionalmente.

Si la función de utilidad es continua y diferenciable, entonces es posible utilizar los métodos de la teoría de la optimización . Entonces, el problema del consumidor se puede plantear en una de dos formas: en forma de maximización de la utilidad (problema directo) o minimización de costos (problema dual).

El problema de la maximización de la utilidad

El problema de maximización de la utilidad es un problema del consumidor directo (Marshalliano) para una función de utilidad dada y una restricción presupuestaria dada.

Sea la función de utilidad del consumidor, donde es el vector de alternativas (conjuntos consumidores), que es un elemento del conjunto admisible . Sea también un vector de precios y sea la renta disponible del consumidor. La tarea directa del consumidor es maximizar la utilidad en el conjunto presupuestario admisible dado por la restricción presupuestaria : $tu(x)$ $X$ $X$ $pags$ $R$ $px\leqslant R$

{\begin{casos}u(x)\rightarrow \max _{x}\\px\leqslant R\\x\in X\end{casos))

Bajo suposiciones suficientemente débiles, la función de utilidad es continua y el conjunto presupuestario está acotado y cerrado, por lo que tal problema siempre tiene una solución ( teorema de Weierstrass ).

Cuando la función de utilidad es diferenciable, las condiciones de primer orden para resolver el problema tienen la forma:

{\frac {\parcial u(x)}{\parcial x_{l))}\leq \lambda p_{l},\,l=1,2,...L

donde es el multiplicador de Lagrange . El signo igual corresponde a la solución interna del problema (en la solución óptima, el volumen de bienes es estrictamente mayor que cero), y el signo de desigualdad corresponde al angular (el producto no está incluido en la canasta óptima). La solución a este problema es la demanda Marshalliana (Walrasiana) . $\lambda$ ${\ estilo de visualización x (p, R)}$

Si sustituimos la demanda marshalliana en la función objetiva (de utilidad), obtenemos la función de utilidad indirecta . ${\ estilo de visualización v (p, w)}$

Problema de minimización de costos

El problema de minimización de costes es el problema del consumidor dual (hicksiano) y se formula como el problema de minimizar los costes del consumidor para adquirir un conjunto de bienes, siempre que su utilidad no sea inferior a un valor determinado (las alternativas elegidas no serán peores que algún conjunto fijo de bienes):

{\begin{casos}ph\rightarrow \min _{h}\\u(h)\geqslant u(x)\\h\in X\end{casos))

donde es un conjunto básico, y es un conjunto no peor que el conjunto de alternativas admisibles. $X$ $h$ $X$

Condiciones de primer orden :

\lambda {\frac {\parcial u(x)}{\parcial x_{l))}\leq p_{l},\,l=1,2,...L

donde es el multiplicador de Lagrange . El signo igual corresponde a la solución interna del problema, y el signo de desigualdad corresponde a la angular. La solución a este problema es la demanda de Hickian . $\lambda$ ${\ estilo de visualización h (p, x)}$

Si sustituimos la demanda de Hiskian en la función objetivo, obtenemos la función de costo . $e(p,{\bar {u)))$

Dualidad

Los problemas de maximización de utilidad y minimización de costos son duales, es decir, conducen a la misma solución óptima. Además, conociendo el óptimo en un problema, siempre se puede encontrar el óptimo en otro sin resolverlo.

En el punto óptimo, la demanda marshalliana y hickiana coinciden:

x^{*}(p,R)\equiv h(p,{\bar {u)))

Al mismo tiempo, la utilidad en el problema de minimización es igual al máximo de la función de utilidad en el problema de maximización , y viceversa: el costo mínimo en el problema dual es igual a la renta fija en línea recta . $v(p,e(p,{\bar {u))))={\bar {u))$ ${\ Displaystyle e (p, v (p, R)) = R}$

Propiedades de las soluciones a los problemas del consumidor

Si las preferencias son localmente no saturables , la función de utilidad es dos veces continuamente diferenciable y fuertemente cuasi cóncava, entonces la función de demanda marshalliana es continuamente diferenciable en precios e ingresos, y la función de demanda de Hicks es continuamente diferenciable en precios.

Se puede demostrar que la solución al problema directo del consumidor satisface la siguiente condición:

MU(x)=\lambda p

donde es el vector de utilidades marginales ( gradiente de la función de utilidad). $MU(x)$

es decir, el vector de utilidades marginales es proporcional al vector de precios. Esto significa que en la elección óptima, el cociente de las utilidades marginales de los bienes individuales ( la tasa marginal de sustitución ) es igual al cociente de sus precios:

MRS_{ij}={\frac {MU_{i}(x)}{MU_{j}(x)}}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}

Véase también

Notas

↑ Busygin V.P., Zhelobodko E.V., Tsyplakov A. Microeconomics-third level: Textbook // Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences. - 2005. - pág. 103

Literatura

Busygin VP, E.V. Zhelobodko, A.A. Tsiplakov. Microeconomía - el tercer nivel. - Novosibirsk, 2003.
Cheremnykh Yu.N. Microeconomía. Nivel avanzado. - M. : INFRA-M, 2008. - 844 p.
Fridman A. A. Conferencias sobre el curso de microeconomía avanzada. - M. : Editorial de la Escuela Superior de Economía de la Universidad Estatal, 2007. - ISBN 978-5-7598-0335-5 .