Leyes de de morgan

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Las leyes de Morgen ( reglas de Morgen ) son reglas lógicas que conectan pares de operaciones lógicas mediante la negación lógica . Nombrado en honor al matemático escocés Augustus de Morgan . Brevemente suenan así:

La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones. La negación de una disyunción es una conjunción de negaciones.

Definición

Augustus de Morgan observó originalmente que las siguientes relaciones se cumplen en la lógica proposicional clásica:

no (a y b) = (no a) o (no b) no (a o b) = (no a) y (no b)

Simbólicamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:

{\begin{matriz}\neg {(a\cuña b)}=\neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}=\neg {a}\cuña \ negativo {b}\end{matriz}}

000o de otra manera:000

{\begin{matriz}\overline {(a\wedge b)}=\overline {a}\vee \overline {b}\\\overline {(a\vee b)}=\overline {a}\wedge \ superponer {b}\end{matriz}}

En la teoría de conjuntos :

{\begin{matriz}\overline {A\cap B}=\overline {A}\cup \overline {B}\\\overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B} \end{matriz}}

000o de otra manera:000

{\begin{matriz}(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C},\\(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.\end{matriz}}

Estas reglas también son válidas para múltiples elementos (familias):

\overline {\bigcap_{{i\in I}}A_{i}}=\bigcup_{{i\in I}}\overline {A_{i}}

00000y .00000

\overline {\bigcup_{{i\in I}}A_{i}}=\bigcap_{{i\in I}}\overline {A_{i}}

En cálculo de predicados :

\neg \para todo x\,P(x)\equiv \existe x\,\neg P(x),

\neg \existe x\,P(x)\equiv \forall x\,\neg P(x).

Consecuencias:

Usando las leyes de De Morgan, se puede expresar una conjunción en términos de una disyunción y tres negaciones. La disyunción se puede expresar de manera similar:

a\cuña b=\neg (\neg {a}\vee \neg {b})

a\vee b=\neg (\neg {a}\cuña \neg {b})

En forma de teorema :

Si existe un juicio expresado por la operación de multiplicación lógica de dos o más elementos, es decir, la operación "y" :, entonces para encontrar el inverso de todo el juicio, es necesario encontrar el inverso de cada elemento y combinarlos con la operación de suma lógica , es decir, la operación "o » : . La ley funciona de manera similar en la dirección opuesta: . ${\displaystyle {(A\cuña B)))$ ${\ Displaystyle {\ neg (A \ cuña B)))$ $(\neg {A}\vee \neg {B})$ $\neg (A\vee B)=(\neg {A}\cuña \neg {B})$

Aplicación

Las leyes de De Morgan se aplican en áreas importantes como las matemáticas discretas , la ingeniería eléctrica , la física y la informática ; por ejemplo, se utilizan para optimizar circuitos digitales reemplazando algunos elementos lógicos por otros.

Historia

El opuesto contradictorio de un juicio disyuntivo es un juicio conjuntivo compuesto por opuestos contradictorios de partes de un juicio disyuntivo.

Texto original (inglés)[ mostrarocultar] El opuesto contradictorio de una proposición disyuntiva es una proposición conjuntiva compuesta de los contradictorios de las partes de la proposición disyuntiva. — Guillermo de Ockham , Summa Logicae

Véase también

Fórmula de inclusión-exclusión

Enlaces

Weisstein, Leyes de Eric W. De Morgan en Wolfram MathWorld .

leyes de la logica

leyes

Principal	Ley de Identidad Ley de la contradicción Ley del tercero excluido La ley de la doble negación Ley de Pierce Ley de razón suficiente
leyes de de morgan Leyes del razonamiento deductivo Ley de Clavio

Principios y propiedades de las leyes

Principio de explosión
Monotonicidad de la vinculación
Idempotencia de atracción
Conmutatividad de la conjunción
Principio de división