La ley del cero o uno

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La ley de cero o uno es una declaración en la teoría de la probabilidad de que cualquier evento residual , es decir, un evento cuya ocurrencia está determinada solo por elementos arbitrariamente distantes de una secuencia de eventos aleatorios independientes o variables aleatorias, tiene una probabilidad de cero o uno. La ley fue descubierta por Andrey Nikolaevich Kolmogorov , por lo que a veces lleva su nombre.

Redacción

Supongamos que se da un espacio de probabilidad y se define en él una secuencia de variables aleatorias independientes (no necesariamente distribuidas de forma idéntica). Sea su -álgebra residual , es decir $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty}$ ${\mathcal {F}}_{\infty}$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{\infty}=\sigma \left(\bigcap \limits_{{m=1}}^{\infty}\bigcup \limits_{{n\geqslant m}}{\ matemática {F}}_{n}\right),

donde es el -álgebra generada por la variable aleatoria . $\mathcal{F}_n$ $\sigma$ $X_n$

Entonces si , entonces o . $A\in {\mathcal {F}}_{\infty}$ ${\ matemáticas {P}} (A) = 0$ ${\ matemáticas {P}} (A) = 1$

En otras palabras, es un evento residual si es medible con respecto al álgebra generada por variables aleatorias , pero independientemente de cualquier subconjunto finito de estas variables. De acuerdo con el teorema, tal evento tiene una probabilidad de cero o uno. $A$ $\sigma$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty}$

Ejemplo

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes. Entonces la serie $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty}$

\sum \limits _{{n=1}}^{\infty}X_{n}

converge o diverge casi con seguridad , ya que ningún subconjunto finito de los términos de la serie puede cambiar su convergencia. Si todos los miembros de la serie se consideran positivos, entonces el evento "la serie converge a un valor menor que 1" no es residual, ya que depende del valor del primer término de la serie .

Véase también

Enlaces

Ito. Procesos probabilísticos. Número I. 1960 p.34 "§ 9. La ley del cero o uno"
4. La ley de los grandes números. El lema de Borel-Cantelli. La ley del cero y uno. Convergencia de sumas de variables aleatorias independientes. / AV Kolesnikov. CONFERENCIAS SOBRE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD