Teorema del mono infinito

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El teorema del mono infinito (en una de las muchas versiones de la formulación) establece que un mono abstracto , golpeando las teclas de una máquina de escribir al azar durante un tiempo ilimitado, tarde o temprano escribirá cualquier texto por adelantado.

La frase "tarde o temprano" desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad significa que la probabilidad de un evento dado tiende a la unidad a medida que el tiempo tiende al infinito, "mono" significa un dispositivo abstracto que genera una secuencia aleatoria de elementos del alfabeto utilizado .

El teorema revela imprecisiones en la concepción intuitiva del infinito como un número grande pero limitado. La probabilidad de que un mono imprima al azar una obra tan compleja como el drama Hamlet de Shakespeare es tan pequeña que difícilmente habría ocurrido dentro del tiempo transcurrido desde el comienzo del universo. Sin embargo, durante un período de tiempo indefinidamente largo, este evento ciertamente ocurrirá (siempre que el mono no muera de vejez o de hambre, el papel y la tinta no se agoten y la máquina de escribir no se rompa).

Si transferimos estos argumentos a una escala previsible, entonces el teorema establecerá que si durante mucho tiempo golpeamos el teclado al azar, entonces aparecerán palabras , frases e incluso oraciones significativas entre el texto escrito . En algunas formulaciones del teorema, un mono se reemplaza por varios o incluso un número infinito de ellos, y el texto varía desde el contenido de una biblioteca completa hasta una sola oración. La prehistoria del teorema se origina en las obras de Aristóteles (" Sobre la creación y la destrucción ") y Cicerón (" Sobre la naturaleza de los dioses ", " Sobre la adivinación "), ideas relacionadas se encuentran en las obras de Blaise Pascal y las obras de Jonathan Swift , así como algunos de nuestros contemporáneos. A principios del siglo XX. Émile Borel y Arthur Eddington utilizaron el teorema para indicar las escalas de tiempo en las que entran en juego las leyes de la mecánica estadística .

El teorema en forma de ciencia popular describe algunos aspectos de la teoría de la probabilidad, su popularidad entre las masas se explica por una paradoja visible. El interés por el teorema, además, está respaldado por varias de sus apariciones en la literatura, la televisión, la radio, la música e Internet . En 2003 se llevó a cabo un experimento para probar el teorema de manera semi-broma en la realidad, en él participaron seis monos . Sin embargo, su contribución literaria ascendió a solo cinco páginas de texto, que contenían principalmente la letra S [1] .

Justificación

Explicación teórica

De acuerdo con el teorema de la multiplicación de probabilidades , si dos eventos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un evento no afecta el resultado del otro, entonces la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos es igual al producto de las probabilidades de estos eventos . [2] . Por ejemplo, si la probabilidad de acertar un cierto número en los dados es 1/6 y la probabilidad de ganar en la ruleta con doble cero es 1/38, entonces la probabilidad de ganar en dos juegos a la vez es 1/6 1/38 = 1/228 .

Ahora suponga que la máquina de escribir tiene 50 teclas y la palabra a escribir es "banana". Si las teclas se pulsan al azar, la probabilidad de que el primer carácter impreso sea la letra "b" es 1/50; también lo es la probabilidad de que el segundo carácter impreso sea "a", y así sucesivamente. Estos eventos son independientes; por lo tanto, la probabilidad de que las primeras cinco letras formen la palabra "banana" es (1/50) 5 . Por la misma razón, la probabilidad de que las próximas 5 letras vuelvan a ser la palabra "banana" también es (1/50) 5 , y así sucesivamente.

Es fácil calcular la probabilidad de que un bloque de 5 letras impresas al azar no sea la palabra "banana". Es igual a 1 − (1/50) 5 . Dado que cada bloque se imprime de forma independiente, la probabilidad de que ninguno de los primeros n bloques de 5 letras coincida con la palabra "banana" es:

A medida que n aumenta , como se puede ver en la fórmula, P disminuye.

Número de bloques de texto, n
 Probabilidad de no escribir la palabra "banana", P
1000 99.999%
1,000,000 99,68%
100,000,000 73%
1,000,000,000 cuatro%

Una fórmula similar se aplica a cualquier otra cadena de caracteres de longitud finita. Esto demuestra por qué entre un número infinito de monos hay uno que reproduce fielmente un texto de cualquier complejidad (por ejemplo, " Hamlet "). En el ejemplo anterior, si el experimento involucra a mil millones de monos, la probabilidad de que ninguno de ellos, presionando al azar cinco teclas de una máquina de escribir, escriba la palabra "banana" es del 4%. En el caso de que el número de monos n tienda a infinito, el valor de P (la probabilidad de que ninguno de los n monos pueda reproducir el texto dado) tiende a cero. Si reemplazamos la palabra "banana" con el texto "Hamlet", el exponente aumentará de 5 al número de caracteres en este texto, pero la esencia de esto no cambiará [3] .

A partir de la prueba anterior, se obtienen las diversas formulaciones originales del teorema: "la probabilidad de que un número infinito de monos escriba un texto dado en el primer intento es 1" o "un mecanógrafo mono trabajando indefinidamente tarde o temprano imprimirá cualquier texto dado". texto de longitud finita (por ejemplo, el texto de este artículo). La prueba no tuvo en cuenta que la palabra "banana" también se puede imprimir entre bloques de texto escrito al azar, pero, como es fácil de ver, esto no afecta su corrección, ya que aquí estamos tratando con valores infinitamente grandes . Debido a esto, se puede argumentar, entre otras cosas, que en un período de tiempo infinitamente largo, un mono abstracto no solo imprimirá las obras completas de Shakespeare , sino que lo hará una cantidad infinita de veces.

Probabilidad real

Ignorando la puntuación , los espacios y las diferencias entre las letras mayúsculas y minúsculas , los monos pulsan al azar las teclas de una máquina de escribir inglesa y tratan de escribir el texto original de " Hamlet " y tienen 26 letras inglesas a su disposición. La probabilidad de escribir correctamente las dos primeras letras del texto es 1/676 = 1/26 1/26 . Dado que la probabilidad disminuye exponencialmente , la posibilidad de escribir correctamente las primeras 20 letras del texto se reducirá una vez de 26 20 = 19 928 148 895 209 409 152 340 197 376 (alrededor de 2 10 28 ). La probabilidad de escribir aleatoriamente el texto completo de una obra famosa, a falta de una definición más adecuada, es astronómicamente pequeña. El texto de Hamlet contiene 132.680 letras [4] . En consecuencia, es igual a 1/(3,4 10 183 946 ) .

Se ha calculado que incluso si toda la parte observable del universo estuviera llena de monos escribiendo durante toda su existencia , la probabilidad de que escriban una sola copia del libro es , sin embargo , de sólo 1/10 183 800 . Según Kittel y Krömer , "esta probabilidad es cero en cualquier sentido práctico". Sin embargo, la afirmación del teorema de que tal evento es posible en el caso de un número infinito de monos "crea la ilusión de que sucederá si hay muchísimos monos detrás de las máquinas de escribir". Esta frase pertenece a los autores del libro [5] sobre termodinámica . Fueron los fundamentos estadísticos de la termodinámica los que primero atrajeron la atención de una amplia gama de personas hacia el contenido de este teorema.

Sin embargo, existe la opinión de que tal situación ya podría darse en la naturaleza, e infinitas veces [6] . Considerando una situación abstracta que podría realizarse en el modelo newtoniano del Universo infinito , donde el infinito se identifica con el infinito, y el tiempo se considera infinitamente extendido, los autores argumentan que en tal volumen ilimitado existe la oportunidad de realizar absolutamente todo lo que solo puede realizarse, puede suceder cualquier evento, y no una vez, sino un número infinito de veces:

Otras formas de vida podrían duplicar la nuestra, así como cualquier otra, una y otra vez en todo tipo de formas, con cada posibilidad individual repetida innumerables veces. Habría todo tipo de versiones de lo que estás leyendo ahora mismo, en todos los idiomas humanos (y no humanos), y cada posibilidad se realizaría no en un lugar o en varios lugares, sino en un número infinito de lugares.

Además, no debe ignorar el requisito de independencia estadística de las pulsaciones de teclas entre sí. La mención del experimento con seis monos en la introducción del artículo, en el que resultó que los monos no pueden producir pulsaciones de teclado distribuidas uniformemente, lo ilustra perfectamente.

Historia

Mecánica estadística

Una de las formas en que la teoría de la probabilidad conoce ahora este teorema apareció en el artículo de Émile Borel " Mecánica estadística e irreversibilidad " [7] y en su libro de 1914 " La casualidad " . Sus "monos" fueron vistos como generadores abstractos de secuencias aleatorias de letras. Borel señaló que incluso si un millón de monos escriben durante diez horas al día, es muy poco probable que impriman un texto que coincida completamente con el contenido de todos los libros en todas las bibliotecas del mundo. Y, sin embargo, la probabilidad de que ocurra este evento es mayor que la probabilidad de que las leyes de la mecánica estadística se violen aunque sea levemente.

El físico Arthur Eddington ilustró esta idea más claramente. En La naturaleza del mundo físico ( 1928 ) escribió:

Si dejo que mis dedos deambulen ociosamente sobre las teclas de una máquina de escribir, puede suceder que pueda escribir alguna oración significativa. Si un ejército de monos golpeara las teclas de las máquinas de escribir, podrían imprimir todos los libros del Museo Británico. La posibilidad de que lo hagan es definitivamente mayor que la posibilidad de que todas las moléculas se recojan en la mitad del recipiente [8] .

Estas ilustraciones invitan al lector a darse cuenta de cuán insignificante es la probabilidad de que muchos, pero no infinitamente, monos impriman cualquier trabajo que valga la pena en un período de tiempo largo pero no infinito, y comparar esto con la probabilidad aún menor de algunos eventos físicos. Cualquier proceso físico que sea incluso menos probable que el éxito de estos monos puede, de hecho, considerarse imposible [5] .

Orígenes no científicos

La novela Los viajes de Gulliver de Jonathan Swift describe a un inventor, miembro de la Projection Academy en Lagado, que construyó una máquina que emite combinaciones aleatorias de todas las palabras existentes. Se escribieron oraciones significativas para luego incluirlas en el "compendio completo de todas las ciencias y artes".

En " Cyberiad " de Stanislav Lem , los héroes crearon un demonio del segundo tipo , que procesaba textos obtenidos del movimiento caótico de los átomos de gas, y seleccionaba los verdaderos de ellos.

En su ensayo " La Biblioteca del Mundo ", el escritor argentino Jorge Luis Borges trazó la historia del teorema del mono infinito hasta la época de Aristóteles y su famosa " Metafísica ". Al explicar la opinión de Leucipo , quien creía que el mundo que lo rodea es una combinación aleatoria de átomos , Aristóteles enfatiza que los átomos mismos son homogéneos , y sus posibles dimensiones difieren solo en forma, posición y estado. En su ensayo " Sobre la creación y la destrucción ", en apoyo de lo dicho, el filósofo griego compara la tragedia y la comedia, que consisten esencialmente en los mismos átomos: las letras del alfabeto [9] . Tres siglos después, Cicerón critica el atomismo en su obra Sobre la naturaleza de los dioses :

No entiendo por qué una persona que piensa que esto podría suceder no debería creer también que si las veintiuna letras fueron hechas de oro o algún otro material en grandes cantidades, y luego estas letras fueron arrojadas al suelo, entonces de inmediato obtener "Annals" Ennius , para que puedan leerse allí mismo. Es poco probable que por casualidad incluso una sola línea [10] pueda resultar de esta manera .

En su ensayo, Borges cita los argumentos de Blaise Pascal y Jonathan Swift . Según él, en 1939 el contenido del teorema tomó la forma del siguiente modismo: "Media docena de monos con máquinas de escribir en un pequeño número de eternidades escribirán todos los libros del Museo Británico". El mismo Borges agregó que, "en rigor, un mono inmortal sería suficiente". El autor transfirió su concepto a uno de los cuentos "La biblioteca de Babilonia ", que fue muy popular entre los lectores en un momento. En él, describió una biblioteca inimaginablemente voluminosa, compuesta por salas hexagonales, en las que se almacenan libros con todo tipo de combinaciones aleatorias de letras del alfabeto y algunos signos de puntuación:

…la biblioteca es completa. En sus estantes se puede encontrar de todo: una historia detallada del futuro, autobiografías de los arcángeles, el catálogo correcto de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, prueba de la falsedad del catálogo correcto, el Evangelio Gnóstico de Basilides, un comentario a este Evangelio, comentario al comentario de este Evangelio, historia real de tu propia muerte, traducción de cada libro a todos los idiomas... Miles de sedientos abandonaron sus hexágonos natales y se precipitaron escaleras arriba, conducidos por un vano deseo de encontrar su justificación... En efecto, las Excusas existen (me pasó que vi dos relacionadas con personas del futuro, tal vez no ficticias), pero quienes se lanzaron a la búsqueda, olvidaron que para una persona la probabilidad de encontrar su Justificación o alguna versión distorsionada de la misma es igual a cero.

Evolución y creacionismo

Este teorema es utilizado a menudo como argumento por los creacionistas, lo que, en su opinión, prueba la imposibilidad de la generación espontánea de vida. Argumentan que dado que nuestro universo tiene una edad limitada, y las formas de vida más simples son infinitamente más complejas que el drama de Shakespeare, la probabilidad de este evento es prácticamente cero.

Cabe señalar que el enunciado del teorema del mono infinito es que, tarde o temprano, sucederá algún evento raro. Por lo tanto, generalmente es incorrecto fundamentar la afirmación opuesta - sobre la imposibilidad de este evento raro - en general, y en el razonamiento de los creacionistas, las referencias a él se utilizan principalmente como un recurso polémico.

Richard Dawkins en su libro "El relojero ciego " señala que todos esos cálculos no tienen en cuenta el papel acumulativo de la selección natural [11] . Para demostrar la capacidad de la selección natural para crear complejidad biológica a partir de mutaciones aleatorias, creó el programa Weasel .. Este programa reproduce la frase de Hamlet "ME PIENSA QUE ES COMO UNA COMADREJA" ("Parece una comadreja"), comenzando con un conjunto aleatorio de letras, "engendrando" la próxima generación con "mutaciones" aleatorias y eligiendo coincidencias cercanas a la frase deseada. Aunque la probabilidad de obtener la frase deseada en un paso es muy baja, Dawkins demostró que el programa, utilizando la selección acumulativa, llega rápidamente (en unas 40 generaciones) a la frase deseada. Sin embargo, como señala Dawkins, el programa Weasel no es una analogía exacta de la evolución, ya que la selección natural, a diferencia de este programa, no tiene una meta lejana. En su lugar, pretende mostrar la diferencia entre la selección acumulativa no aleatoria y la selección única aleatoria [12] .

Reflexión en la cultura popular

Considerado una ilustración popular de la probabilidad matemática, el teorema del mono infinito y sus clones son ampliamente conocidos por la mayoría de la gente más por la cultura popular que por la clase de matemáticas.

En la película Ruta 60 , hay una línea:

Hay una teoría de que el Universo y el tiempo son infinitos, lo que significa que cualquier cosa puede pasar, es decir, cualquier evento es inevitable, ¡de lo contrario no sucedería!

El teorema fue popularizado por primera vez por el astrónomo Arthur Stanley Eddington . Se convirtió en parte de las expresiones idiomáticas gracias al humorístico cuento de ciencia ficción Inflexible Logic de Russell Maloney , en el que los simios, contrariamente al sentido común, escribieron con precisión un libro tras otro.

Además, el teorema fue mencionado en The Hitchhiker's Guide to the Galaxy por Douglas Adams :

—¡Ford! dijo, “allá afuera hay un número infinito de monos.
Y quieren discutir con nosotros el "Hamlet" que se les ha ocurrido.

— Douglas Adams , La guía del autoestopista galáctico

Una agencia de publicidad británica ha filmado un comercial alusivo al Teorema del Mono Infinito. En este video se monta un “experimento”: se colocan decenas de máquinas de café y monos en la habitación, en esta historia los monos no podían preparar café, porque según los autores del video, hacer café es un arte [ 13] .

El tema también apareció en la serie animada de Cartoon Network I am Weasel en la temporada 5, episodio 23, " A Troo Storee ". La teoría sobre la posibilidad de que los monos escriban un libro golpeando accidentalmente las teclas la expone uno de los personajes principales de la serie, Y. Ermine, pero el experimento para probar la teoría casi se frustra debido al sabotaje de la mayoría de los monos. con la excepción del segundo personaje principal de la serie, Baboon. La calidad del resultado, sin embargo, resulta muy alejada de Shakespeare.

En el episodio 17 de la cuarta temporada de la serie animada Los Simpson , se mostró el sótano del Sr. Burns , en el que una gran cantidad de monos, sentados frente a máquinas de escribir, estaban escribiendo texto.

El 1 de abril de 2000, se publicó una propuesta de trabajo cómico ( RFC , una serie de estándares de Internet de facto) para regular el trabajo de un número infinito de monos colectivos [14] (ver los RFC de April Fools ).

Véase también

Notas

  1. ↑ No hay palabras para describir el juego de los monos , BBC News (9 de mayo de 2003). Archivado desde el original el 27 de marzo de 2014. Consultado el 25 de julio de 2009.
  2. ↑ Gmurman V. E. Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática. - 9ª ed. - M. : Escuela Superior, 2003. - S. 37-47. — 479 pág. — ISBN 5-06-004214-6 .
  3. ↑ Isaac, Richard E. Los placeres de la probabilidad. - Springer, 1995. - S. 48-50. — ISBN 038794415X .
  4. ↑ El texto en inglés de Hamlet Archivado el 20 de septiembre de 2012 en la Wayback Machine de la Biblioteca Gutenberg contiene 132 680 caracteres alfabéticos, para un total de 199 749 caracteres.
  5. ↑ 1 2 Kittel, Charles y Herbert Kroemer . Física térmica (2ª ed.). - WH Freeman Company, 1980. - Pág. 53. - ISBN 0-7167-1088-9 .
  6. ↑ D. Goldsmith, T. Owen. La Búsqueda de Vida en el Universo = La Búsqueda de Vida en el Universo. - M. : Mir, 1983. - S. 56-58. — 488 pág.
  7. ↑ Émile Borel. Mécanique Statistique et Irreversibilité  // J. Phys. serie 5e. - 1913. - T. 3 . - S. 189-196 .
  8. ↑ Arthur Eddington. La naturaleza del mundo físico: las conferencias Gifford  (inglés) . - Nueva York: Macmillan, 1928. - Pág  . 72 . - ISBN 0-8414-3885-4 .
  9. ↑ Aristóteles, De Generatione et Corruptione , 315b14.
  10. ↑ Marcus Tullius Cicero, De natura deorum , 2.37. Traducción de las disputas tusculanas de Cicerón; Además, Tratados sobre la naturaleza de los dioses y sobre la Commonwealth , CD Yonge, traductor principal, Nueva York, Harper & Brothers Publishers, Franklin Square. (1877). Texto descargable Archivado el 29 de septiembre de 2007 en Wayback Machine .
  11. ↑ Kipyatkov V. E. Taller sobre modelado matemático en la teoría de la evolución. Parte I. Factores de microevolución. San Petersburgo: De la Universidad Estatal de San Petersburgo. 2000
  12. ↑ Dawkins, Ricardo. El relojero ciego. WW Norton & Co. págs. 46-50. ISBN 0-393-31570-3 .
  13. ↑ Alena Lasch. Los monos no podían hacer café como en Costa . Sostav.ru (13 de octubre de 2010). Consultado el 14 de noviembre de 2010. Archivado desde el original el 18 de noviembre de 2010.
  14. ↑ S. Christey. El conjunto de protocolos Infinite Monkey (IMPS  ) . herramientas.ietf.org. Consultado el 30 de junio de 2018. Archivado desde el original el 18 de noviembre de 2018.

Literatura