Los juegos de Blotto (juegos de Colonel Blotto) son una clase de juegos de suma cero para dos personas en los que la tarea de los jugadores es distribuir recursos limitados entre múltiples objetos (campos de batalla). En la versión clásica del juego, el jugador que colocó más recursos en el campo gana la batalla en este campo, y la ganancia total (el precio del juego) es igual a la suma de las batallas ganadas.
Aunque el juego del coronel Blotto fue publicado por primera vez por Borel [1] en 1921, la mayoría de las variaciones del juego clásico no se resolvieron hasta el '91. En 2006, Roberson describió el precio de equilibrio de un juego clásico para cualquier número de campos y cualquier nivel de recursos, así como conjuntos de equilibrio característicos para la mayoría de las variaciones del juego clásico. [2]
El juego lleva el nombre del mítico Coronel Blotto de la obra de Gross y Wagner de 1950 [3] . El coronel tenía que encontrar la distribución óptima de sus soldados en N campos de batalla, sabiendo que:
Como ejemplo, imagine un juego en el que dos jugadores escriben tres números enteros positivos en orden no decreciente, cuya suma está predeterminada (=S). Luego, ambos jugadores comparan los números (en orden). Gana el jugador que tenga más números en dos posiciones.
Para S = 6, solo son posibles tres opciones: (2, 2, 2), (1, 2, 3) y (1, 1, 4). Es fácil ver eso:
Cualquier triple contra el mismo empate; (1, 1, 4) vs. (1, 2, 3) empates; (1, 2, 3) contra (2, 2, 2) empate; (2, 2, 2) vence a (1, 1, 4).Por lo tanto, (2, 2, 2) es la estrategia óptima, ya que gana en un caso y no pierde en todos los demás. Sin embargo, si ambos jugadores eligen la estrategia (2, 2, 2) o (1, 2, 3), entonces ninguno de los jugadores puede vencer al otro cambiando la estrategia, por lo que cada par es un Equilibrio de Nash .
A medida que aumenta el número S, el análisis se vuelve más y más difícil. Para S = 12 se puede demostrar que (2, 4, 6) es la estrategia óptima, sin embargo para S > 12, las estrategias deterministas no son óptimas. Para S = 13, elegir (3, 5, 5), (3, 3, 7) y (1, 5, 7) con una probabilidad de 1/3 para cada uno resulta ser una estrategia mixta óptima.
Para encontrar soluciones mixtas del juego, se puede utilizar el método de base variable , para el cual un juego matricial se reduce a un problema de programación lineal . La matriz resultante tendrá una gran cantidad de filas y columnas (igual a la cantidad de estrategias), pero no es necesario almacenarla; los elementos de la matriz se pueden obtener mediante programación en el momento adecuado. En este caso, el tamaño de la matriz base será pequeño.
Las elecciones presidenciales de EE . UU. de 2000 , uno de los contendientes más cercanos en la clasificación, se modelaron como Blotto's Game. [4] El artículo afirma que Horus tenía una estrategia que lo llevaría a ganar, pero no la encontró.