La relación isoperimétrica para una curva cerrada simple en el plano euclidiano es igual a la relación L 2 / A , donde L es la longitud de la curva y A es su área. La relación isoperimétrica es adimensional y no cambia bajo transformaciones de similitud.
Como se deduce de la solución del problema isoperimétrico , el valor de la relación isoperimétrica es mínimo para un círculo y es igual a 4π. Para cualquier otra curva, la relación isoperimétrica importa más. [1] Por lo tanto, la relación isoperimétrica se puede usar como una medida de cuán "diferente" es una curva de un círculo.
El flujo de acortamiento reduce la relación isoperimétrica de cualquier curva convexa suave de tal manera que si la curva se convierte en un punto en el límite, entonces la relación isoperimétrica tiende a 4π. [2]
Para cuerpos geométricos de dimensión arbitraria d , la relación isoperimétrica se puede definir como B d / V d − 1 , donde B es igual al área de la superficie del cuerpo (es decir, la medida de su límite ), V es igual al volumen del cuerpo (es decir, la medida de la región interna). [3] Otras cantidades relacionadas son la constante de Cheeger para una variedad de Riemann y la constante de Cheeger para gráficos . [cuatro]