Medida invariante

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 19 de junio de 2018; las comprobaciones requieren 5 ediciones .

Medida invariante : en la teoría de sistemas dinámicos , una medida definida en el espacio de fase , asociada con un sistema dinámico y que no cambia con el tiempo durante la evolución del estado de un sistema dinámico en el espacio de fase . El concepto de medida invariante se utiliza para promediar las ecuaciones de movimiento , en la teoría de los exponentes de Lyapunov , en la teoría de la entropía métrica y en las dimensiones fractales probabilísticas [1] .

Definición

En la teoría de los sistemas dinámicos , se dice que una medida en un espacio es invariante para un mapeo medible si coincide con su imagen [2] . Por definición , esto significa que $\mu$ $(X,\Sigma)$ $f:(X,\Sigma)\a (X,\Sigma)$ $f_* \mu$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)

Para mapeos reversibles, la transición a la preimagen en (*) puede ser reemplazada por la transición a la imagen: si el mapeo también es medible en el sentido de , entonces la definición es equivalente $f^{-1}$ $(X,\Sigma)$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).

Sin embargo, en la situación general, la definición no se puede cambiar de esta manera: la medida de Lebesgue en el círculo es invariante bajo el mapeo de duplicación , pero la medida del arco es diferente de la medida de su imagen . $S^{1}$ $x\mapsto 2x \mod 1$ $[0.1/3]$ $[0.2/3]$

Ejemplos

Mostrar [3] . La ecuación de Perron-Frobenius tiene la forma . Sustituyendo esta expresión en su lado derecho, obtenemos: . Repitiendo esta sustitución una vez, obtenemos: . Esta medida es estable, es decir, una medida continua arbitraria convergerá a ella. $x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$ $p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1 {2}}\derecho)\derecho]$ $p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1 {4}}\derecha)+p\izquierda({\frac {x+2}{4}}\derecha)+p\izquierda({\frac {x+3}{4}}\derecha)\derecha ]$ $norte$ $p(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+ i {2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty} \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$
Mostrar o , [4] . La existencia de una medida invariante continua estable c se prueba de manera similar. $x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\en [-1,1]$ ${\ estilo de visualización x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|}$ ${\ estilo de visualización x \ en [0,1] (1)}$ $p(x)=\mathrm {const}$
Cartografía logística , [4] . Reemplazamos , , obtenemos , , que se puede transformar a la forma (1). Por lo tanto, para hay una densidad de probabilidad constante continua . La densidad de probabilidad para sigue de ello: . ${\ estilo de visualización x_{n+1}=1-2x_{n}^{2))$ ${\ estilo de visualización x \ en [-1,1]}$ $x=-\cos \pi \theta$ ${\ estilo de visualización \ theta \ en [0,1]}$ ${\displaystyle -\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n))$ $\theta _{n+1}={\begin{casos}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2 \theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{casos}}$ $\ theta$ ${\ estilo de visualización p (\ theta) = 1}$ $X$ $p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$