Medir imagen bajo acción de visualización

La imagen de una medida es una construcción natural que da una medida sobre el rango de valores del mapeo según la medida sobre el dominio de definición. Si imaginamos una medida como una distribución de masa y un mapeo como una transferencia de puntos de un espacio a otro, entonces la masa de un conjunto es la masa total de puntos que caen en él.

Generalmente se denota la imagen de la medida de visualización , pero a veces se usa la notación . $\mu$ $F$ $f_{*}\mu$ $f_{\#}\mu$

Definición

Sea dada una cartografía medible de espacios medibles y una medida sobre , su imagen bajo la acción es una medida sobre , definida como ${\ estilo de visualización f: (X, \ Sigma _ {1}) \ a (Y, \ Sigma _ {2})}$ $\mu$ ${\ estilo de visualización (X, \ Sigma _ {1})}$ $F$ $f_{*}\mu$ ${\ estilo de visualización (Y, \ Sigma _ {2})}$

(f_{*}\mu )(A)=\mu (f^{-1}(A))\quad \forall A\subset Y,\,A\in \Sigma _{2}.

Propiedades

Para una función entre espacios métricos equipados con álgebras de Borel, la medida puede considerarse como un funcional en funciones acotadas continuas. En este caso, la definición de imagen de medida se puede reescribir como $f\dos puntos X\a Y$ $\sigma$

\int \limits _{Y}\varphi \,d(f_{*}\mu )=\int \limits _{X}\varphi \circ f\,d\mu .

para cualquier función continua con soporte compacto. $\varphi$

Véase también

Medida invariante