Logaritmo integral

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El logaritmo integral es una función especial definida por la integral

{\mathrm {li}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Para eliminar la singularidad en , a veces se usa el logaritmo integral desplazado : $x=1$

{\mathrm {Li}}\,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Estas dos funciones están relacionadas por:

{\mathrm {li}}\,(x)-{\mathrm {Li}}\,(x)={\mathrm {li}}\,(2)\aprox. 1{,}045~163~780~ 117~492\l puntos

El logaritmo integral fue introducido por Leonhard Euler en 1768.

El logaritmo integral y la función exponencial integral están relacionados por la relación:

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x).

El logaritmo integral tiene un solo cero positivo en un punto ( el número de Ramanujan-Soldner ). $\mu \aprox. 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$

Expansión de la serie

De la identidad se conecta y sigue la serie: ${\mathrm {li}}\,(x)$ ${\mathrm {Ei}}(\ln x)$

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},

donde es la constante de Euler-Mascheroni . $\gamma \aprox. 0{,}577~215~664~901~532\ldots$

La serie derivada por Srinivasa Ramanujan converge más rápido :

{\mathrm {li}}\,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1 )^{{n-1}}(\ln x)^{n}}{2^{{n-1}}n!}}\sum_{{k=0}}^{{\lpiso (n -1)/2\rpiso}}{\frac{1}{2k+1}}.

Logaritmo integral y distribución de números primos

El logaritmo integral juega un papel importante en el estudio de la distribución de números primos . Es una mejor aproximación al número de primos menores o iguales a un número dado que . Si la hipótesis de Riemann es verdadera, [ 1] $x/\ln {x}$

\pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).

Sin embargo, para no demasiado grandes , se prueba que para algunos suficientemente grandes , la desigualdad cambia de signo. Este número se llama el número de Skewes , actualmente se sabe que está en algún lugar entre 10 19 [2] y 1.3971672 10 316 ≈ e 727.951336108 [3] . $X$ $\pi (x)<{\mathrm {Li}}\,(x)$ $X$

Notas

↑ Moderno. problema Mat., 2008, número 11. - p. 30-31
↑ Jan Buthe. Un método analítico para acotar ψ ( x ) // Math. compensación - 2018. - Vol. 87.- Pág. 1991-2009. -arXiv : 1511.02032 . _ doi : 10.1090 / mcom/3264 . La demostración utiliza la hipótesis de Riemann.
↑ Yannick Sauter, Timothy Trudgian y Patrick Demichel. Una región aún más nítida donde π ( x ) − li( x ) es positivo // Matemáticas. compensación - 2015. - Vol. 84. - P. 2433-2446. -doi : 10.1090/ S0025-5718-2015-02930-5 . SEÑOR : 3356033 _ Esta estimación no requiere la hipótesis de Riemann.

Literatura

Diccionario enciclopédico matemático. - M. , 1995. - pág. 238.