Serie de interpolación

Las series de interpolación entraron en las matemáticas principalmente gracias a Newton . Los primeros ejemplos de estos son la serie de interpolación infinita de Newton y la serie de Taylor . En el siglo XVIII. Euler , Lagrange y Laplace utilizaron ampliamente las series de interpolación infinita como herramienta para el análisis matemático , en el siglo XIX. — Gauss , Abel y Cauchy . A finales del siglo XIX. La generalización de los problemas de interpolación sirvió como una de las fuentes del problema de los momentos en los trabajos de Chebyshev , Stieltjes y Markov .

Построение интерполяционного ряда, или интерполяционный процесс , определяется последовательностью линейных непрерывных функционалов в линейном топологическом пространстве. При этом имеется также такая последовательность функций , что ${\Phi_{i}}~(i=0,1,2,\ldots)$ $\textstyle {\varphi _{j}}~(j=0,1,2,\ldots)$

{\ estilo de visualización \ Phi _ {i} [\ varphi _ {j}] = \ delta _ {ij},}

donde está el símbolo de Kronecker ( , si ; de lo contrario ). La secuencia se llama la base de los polinomios fundamentales del proceso de interpolación. La serie de interpolación de una función es la expresión formal ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ delta _ {ij))$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ delta _ {ij} = 1}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto i = j}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ delta _ {ij} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ varphi _ {j} (x)))$ $\estilo de texto f(x)$

\sum_{i=k}^{\infty}\Phi_{k}[f]\varphi_{k}(x).

Si esta serie converge, entonces su suma satisface las igualdades ${\ estilo de visualización \ estilo de texto S (x)}$

\textstyle \Phi_{k}[S(x)]=\Phi_{k}[f(x)]

pues independientemente de si la suma de la función original es igual o no. La totalidad de estas igualdades expresa una generalización del problema habitual de interpolar una función a partir de sus valores en una sucesión de puntos. $k=0,1,2,\ldots$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto S (x)}$ $\estilo de texto f(x)$

Literatura

Evgrafov M. A. Abel-Goncharov problema de interpolación. Moscú: Gostekhizdat, 1954.
Akhiezer N. I. El problema clásico de los momentos. Moscú: Fizmatlit, 1961.
Ibragimov II Métodos de interpolación de funciones y algunas de sus aplicaciones. Moscú: Nauka, 1971.
Kerin M. G., Nudelman A. A. El problema del momento de Markov y los problemas extremos. Moscú: Nauka, 1973.
Golovinsky IA De la historia de la serie de interpolación. // Investigación histórica y matemática. Moscú: Nauka, vol. XXII, 1977, pág. 65-81.
Serie de interpolación de Golovinsky IA Laplace. // Investigación histórica y matemática. Moscú: Nauka, vol. XXIV, 1979, pág. 104-120.