Cáscara de inyección

Un casco inyectivo es una construcción en geometría métrica que da el espacio métrico inyectivo más pequeño que incluye el espacio métrico dado. Esta construcción es similar en muchos aspectos a la construcción de casco convexo para escenarios en el espacio euclidiano .

La vaina inyectable fue descrita por primera vez por John Isbell en 1964. [1] Más tarde fue redescubierta varias veces. [2] [3]

Edificio

En un espacio métrico dado , todas las funciones se consideran tales que $METRO$ $f\dos puntos M\to \mathbb {R}$

f(x)+f(y)\geqslant |xy|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|

para cualquier

x,y\en M

para cualquiera existe tal que es arbitrariamente pequeño.

x\en M

y\en M

{\ estilo de visualización f (x) + f (y)-|xy|_{M))

Además, el conjunto de estas funciones se suministra con la métrica

|fh|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.

El espacio métrico resultante se llama casco inyectivo . $W$ $METRO$

Notas

El espacio puede considerarse como un subespacio ; el mapeo requerido se obtiene comparando cada punto con su función de distancia . $METRO$ $W$ ${\ estilo de visualización M \ a W}$ $x\en M$ ${\displaystyle z\mapsto |xz|_{M))$

Propiedades

Un casco inyectivo es un espacio inyectivo .
El casco inyectivo de un espacio compacto es compacto.
- En particular, cualquier espacio compacto es un subespacio de un espacio compacto con longitud métrica .
Sean y sean cascos inyectivos de espacios métricos compactos y . Después ${\ estilo de visualización {\ sombrero {X}}}$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {Y}}}$ $X$ $Y$ $d_{GH}({\sombrero {X)),{\sombrero {Y)))\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),$

donde denota la métrica de Gromov-Hausdorff .

d_{GH}

La constante 2 en esta desigualdad es óptima. [cuatro]

Notas

↑ Isbell, JR Seis teoremas sobre espacios métricos inyectivos (inglés) // Commentarii Mathematici Helvetici : diario. - 1964. - Vol. 39 . - P. 65-76 . -doi : 10.1007/ BF02566944 .
↑ Dress, Andreas WM (1984), Árboles volAdvances in Mathematics,, extensiones estrechas de espacios métricos y la dimensión cohomológica de ciertos grupos
↑ Chrobak, Marek & Larmore, Lawrence L. (1994), La generosidad ayuda o un algoritmo competitivo de 11 para tres servidores , Journal of Algorithms Vol. 16 (2): 234–263 , DOI 10.1006/jagm.1994.1011 .
↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Zust, Roger. Estabilidad métrica de árboles y vanos estrechos // Arch . Matemáticas. (Basilea). - 2013. - Vol. 101 , núm. 1 . — P. 91–100 .