Métrica interna

Una métrica interna es una métrica en el espacio , definida usando el funcional de longitud, como el mínimo de las longitudes de todos los caminos (curvas) que conectan un par de puntos dado.

Definiciones

Sea dado un espacio topológico y se elija una clase de caminos admisibles que esté contenido en el conjunto de todos los caminos continuos en . $X$ $\Gama$ $X$

Se da un funcional de longitud sobre el espacio si se da una función sobre el conjunto que asocia cada uno con un valor (número no negativo o infinito), que se denomina longitud del camino . $X$ $\Gama$ $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ en \ gamma}$ ${\ estilo de visualización L (\ gama)}$ $\gama$

Una métrica en el espacio se llama interna si para dos puntos cualquiera la distancia entre ellos está determinada por la fórmula donde el infinito se toma sobre todos los caminos admisibles que conectan los puntos . $\rho$ $X$ $x,y\en X$ ${\ estilo de visualización \ rho (x, y) = \ inf \ {L (\ gamma) \},}$ $x,y\en X$

Definiciones relacionadas

Sean dos puntos arbitrarios de un espacio métrico y sea un número positivo arbitrario. Un punto se llama su punto medio si $x,y\en X$ ${\ estilo de visualización \ rho, X}$ $\varepsilon$ $z_{\epsilon}\en X$ $\varepsilon$ $\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2))\rho (x,y)+\varepsilon .$

Un espacio métrico se llama geodésico si dos puntos cualesquiera pueden unirse por un camino más corto . $(X,\rho)$ $X$

Propiedades

Si es un espacio con una métrica intrínseca, entonces para dos puntos cualesquiera y cualquiera existe su -medio . En el caso de que el espacio métrico esté completo , también tiene lugar la afirmación inversa: si para dos puntos cualquiera existe su -medio , entonces esta métrica es interna. $(X,\rho)$ $x,y\en X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $(X,\rho)$ $x,y\en X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$
Un espacio métrico completo con métrica intrínseca tiene la siguiente propiedad: para dos puntos cualesquiera y existe una curva de longitud que conecta los puntos y . Además, en un espacio métrico completo con métrica intrínseca, la longitud de una curva más corta coincide con la distancia entre sus extremos. $(X,\rho)$ $x,y\en X$ $\varepsilon >0$ ${\ estilo de visualización <\ rho (x, y) + \ varepsilon,}$ $X$ $y$
Teorema de Hopf-Rinow : si es un espacio métrico completo localmente compacto con métrica intrínseca, entonces dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por un camino más corto. Además, el espacio es compacto acotado (es decir, todos los subconjuntos cerrados acotados son compactos ). $(X,\rho)$ $X$ $X$ $X$

Véase también

Literatura

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. , Curso de geometría métrica. - Moscú-Izhevsk, Instituto de Investigación Informática, 2004. ISBN 5-93972-300-4