Secuencia irracional

En matemáticas , una secuencia de enteros positivos a n se llama secuencia irracional si tiene la propiedad de que para cualquier secuencia x n de enteros positivos la suma de la secuencia

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}

existe y es un número irracional [1] [2] . El problema de describir secuencias irracionales fue planteado por Pal Erdős y Ernst Straus , quienes originalmente llamaron a la propiedad de ser una secuencia irracional "Propiedad P" [3] .

Ejemplos

Las potencias de dos forman una secuencia irracional. Sin embargo, aunque la sucesión de Sylvester $2^{{2^{n}}}$

2 , 3 , 7 , 43 , 1807, 3263443, …

(en el que cada término es uno mayor que el producto de todos los términos anteriores) también crece a razón del doble exponente , no forma una secuencia irracional. Si ponemos , obtenemos $x_{n}=1$

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,

que converge a un número racional. De manera similar, los factoriales no forman una secuencia irracional, ya que la secuencia conduce a una secuencia con una suma racional $¡norte!$ $x_{n}=n+2$

\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1

[1] .

Tasa de crecimiento

Cualquier secuencia a n que crece a una velocidad tal que

\limsup _{n}{\frac {\log \log a_{n}}{n}}>\log 2

es una secuencia irracional. Esto incluye secuencias que crecen más rápido que el doble exponente, así como algunas secuencias exponenciales dobles que crecen más rápido que una potencia de dos [1] .

Cualquier secuencia irracional debe crecer lo suficientemente rápido como para

\lim _{{n\to \infty }}a_{n}^{{1/n}}=\infty .

Sin embargo, no se sabe si existe tal secuencia en la que el mcd de cualquier par de factores sea igual a 1 (en contraste con la potencia de una potencia de dos) y para la cual

\lim _{n\to \infty}a_{n}^{1/2^{n}}<\infty

[4] .

Propiedades relacionadas

Por analogía con las sucesiones irracionales, Hančl ( Hančl 1996 ) definió las sucesiones trascendentales como sucesiones de enteros a n tales que para cualquier sucesión x n de enteros positivos la suma de la sucesión

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}

existe y es un número trascendente [5] .

Notas

↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Problemas no resueltos de teoría de números // 3er. - Springer-Verlag , 2004. - S. 346 . — ISBN 0-387-20860-7 .
↑ P. Erdős, R. L. Graham. Viejos y nuevos problemas y resultados en teoría combinatoria de números. - Ginebra: Université de Genève L'Enseignement Mathématique, 1980. - Vol. 28. - (Monografías de L'Enseignement Mathématique).
↑ P. Erdős. Algunos problemas y resultados sobre la irracionalidad de la suma de series infinitas // Journal of Mathematical Sciences. - 1975. - T. 10 . - S. 1-7 (1976) .
↑ P. Erdős. Nuevos avances en la teoría de la trascendencia (Durham, 1986). Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa, 1988. - S. 102-109.
↑ Jaroslav Hancl. Sucesiones trascendentales // Mathematica Slovaca. - 1996. - T. 46 , núm. 2-3 . - S. 177-179 .