Un número entero se denomina residuo de módulo cuadrático si la comparación se puede resolver [1] :
Si la comparación indicada no se puede resolver, entonces el número se denomina módulo cuadrático sin residuos . Resolver la comparación anterior significa sacar la raíz cuadrada en el anillo de clases de residuos .
Los residuos cuadráticos son ampliamente utilizados en teoría de números , también han encontrado aplicaciones prácticas en acústica [2] , criptografía , teoría de grafos (ver gráfico de Paley ) y otros campos de actividad.
El concepto de residuo cuadrático también se puede considerar para un anillo o campo arbitrario . Por ejemplo, residuos cuadráticos en campos finitos .
La Enciclopedia Matemática y otras fuentes definen un residuo cuadrático como un número para el cual hay una solución de congruencia . Otras fuentes (por ejemplo, G. Hasse. Lectures on Number Theory, 1953) indican un requisito adicional de que el número es coprimo con . Algunas fuentes generalmente consideran solo el caso de un módulo primo impar [3] [4] . En los dos últimos casos, el cero queda excluido de la consideración.
Los números y son residuos cuadráticos módulo cualquiera, ya que las congruencias y siempre tienen soluciones y, respectivamente.
Corolario : dado que solo hay dos clases de residuos para un módulo, y cualquier número de módulo 2 es un residuo cuadrático.
Módulo 3, hay tres clases de residuos: Sus cuadrados caen en las clases de residuos , respectivamente. Esto muestra que los números de las clases y son residuos cuadráticos, y los números de la clase (por ejemplo, ) son residuos cuadráticos módulo 3.
La teoría de los residuos cuadráticos se aplica ampliamente, en particular, al estudio de posibles valores enteros de formas cuadráticas . Considere, por ejemplo, la ecuación:
De ello se deduce que Sin embargo, los cuadrados de los números dan solo residuos módulo 5 , es decir, 3 es un módulo 5 cuadrático sin residuos. Se sigue que la ecuación anterior no tiene soluciones en números enteros [5] .
Una comparación de cuadrados general de la forma donde los números son coprimos y no son divisores del módulo se puede investigar de la siguiente manera: se encuentra la solución de la comparación , luego la comparación del cuadrado original se multiplica por para obtener una comparación de la forma: Queda por determinar [6] si es un residuo cuadrático módulo .
Entre los números distintos de cero , para un módulo primo hay residuos y no residuos exactamente cuadráticos .
PruebaYa que, basta mostrar que entre los números no existen módulos comparables .
Sea tal número para y .
Dado que , entonces y, en vista del hecho de que es simple, y , tenemos , lo cual es imposible porque
Por lo tanto, los residuos cuadráticos distintos de cero forman un subgrupo de índice 2 en el grupo multiplicativo del anillo .
Walter Stangl introdujo una fórmula en 1996 para calcular el número de residuos cuadráticos módulo arbitrariamente . [7]
Sea la descomposición canónica del número . Entonces la siguiente fórmula es verdadera para el número de residuos cuadráticos módulo
Sea simple, . Denote por el número de residuos cuadráticos módulo entre los números .
I. M. Vinogradov demostró que , donde .
De esto se deduce que en intervalos arbitrarios de longitud suficientemente grande (tal que ) habrá una igualdad asintótica , es decir, los residuos y no residuos cuadráticos serán asintóticamente iguales.
Indicar por el mínimo módulo cuadrático positivo sin residuos .
De la desigualdad (ver la sección "cantidad en el intervalo"), se sigue directamente que , es decir, .
Como resultado de una investigación más profunda, Vinogradov demostró que .
Hay una hipótesis propuesta por Vinogradov que .
Si la hipótesis de Riemann es correcta, entonces .