Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que [1] [2]

todo número natural se puede factorizar ( expandir) en la forma $n>1$ ${\displaystyle n=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k))$ ${\displaystyle p_{1},\ldots,p_{k))$

Si acordamos formalmente que el producto vacío de un conjunto vacío de números es igual a 1, entonces se puede omitir la condición en la formulación; entonces, para la unidad, se implica la factorización por un conjunto vacío de números primos: [3] [ 4] . $n>1$ ${\ estilo de visualización 1 = 1}$

Por lo tanto, todo número natural se puede representar como $norte$

n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k)),

donde son números primos, y son algunos números naturales,

{\displaystyle p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{k))

{\displaystyle d_{1},\ldots,d_{k))

y de una manera única . Esta representación de un número se llama factorización canónica . $norte$

Prueba

Según el método de inducción

Existencia : demostraremos la existencia de una factorización de un número en factores primos, si suponemos que ya se ha demostrado lo mismo para cualquier otro número menor que . Si es primo, entonces se prueba la existencia. Si es compuesto, entonces se puede representar como el producto de dos números y , cada uno de los cuales es mayor que 1 pero menor que . Los números y son primos o se pueden descomponer en un producto de números primos (ya se demostró anteriormente). Sustituyendo su descomposición en , obtenemos la descomposición del número original en primos. La existencia está probada [5] . $norte$ $norte$ $norte$ $norte$ $a$ $b$ $norte$ $a$ $b$ $n=a\cdot b$ $norte$

Unicidad : para un número primo, la unicidad es obvia.

Para un número compuesto, la idea de la prueba es utilizar el método "por contradicción" , es decir, se supone que el número tiene dos desarrollos diferentes. Consideramos los números primos y , que son los más pequeños en la primera y segunda de estas expansiones, respectivamente, y demostramos el siguiente lema: $p_{0}$ $q_{0}$

si la descomposición de un número en factores primos es única, entonces todos los divisores primos deben incluirse en esta descomposición. $metro$ $metro$

A continuación, consideramos el número , que a su vez es un número natural y que es menor que . De la suposición inductiva y del lema anterior se sigue que es un divisor del número dado, después de lo cual se concluye de manera similar que la primera factorización es divisible por . Ningún número primo puede aparecer en ambas descomposiciones a la vez, ya que de lo contrario sería posible reducirlo y obtener distintas descomposiciones en factores primos de un número menor que . $n-p_{0}\cdot q_{0}$ $norte$ $p_{0}\cdot q_{0}$ $q_{0}$ $norte$ $norte$

Usando el algoritmo de Euclides

Uno puede probar el teorema fundamental de la aritmética usando el corolario del algoritmo de Euclides [7] :

el máximo común divisor es el máximo común divisor de y multiplicado por . $n\cdot a$ $n\cdot b$ $a$ $b$ $norte$

A partir de este corolario, se puede demostrar el lema de Euclides , también necesario para la demostración del teorema:

si es un número primo y el producto de dos números es divisible por , entonces al menos uno de los dos factores es divisible por . $pags$ $pags$ $pags$

Existencia: La idea detrás de la prueba de existencia es probar el lema:

Considere un número primo y un producto . Si es divisible por , pero no por , entonces es divisible por . $pags$ $n\cdot a$ $n\cdot a$ $pags$ $a$ $pags$ $norte$ $pags$

Además, utilizando el lema anterior, el número se descompone secuencialmente en factores primos, suponiendo que se conocen todos los divisores primos de este número.

Unicidad: que el número n tenga dos descomposiciones diferentes en números primos:

n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot \ldots =p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot \ldots

Como es divisible por , entonces o bien es divisible por . Si es divisible por , entonces , ya que ambos números son primos. Si es divisible por , entonces continuamos con el razonamiento anterior. Al final, resultará que uno de los números es igual al número , y por lo tanto, ambas expansiones del número coinciden. Por lo tanto, se prueba la unicidad de la descomposición. $p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot \ldots$ $p_{1}$ $p'_{1}$ $p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot \ldots$ $p_{1}$ $p'_{1}$ $p_{1}$ $p'_{1}=p_{1}$ $p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot \ldots$ $p_{1}$ $p'_{1},p'_{2},p'_{3},\ldots$ $p_{1}$

Historia

Las premisas del teorema fundamental de la aritmética tienen su origen en la Antigua Grecia . A pesar de que en las matemáticas griegas antiguas no se da el teorema básico de la aritmética en la formulación moderna, en los " Principios " ( otro griego Στοιχεῖα ) Euclides tiene oraciones equivalentes. Siguiendo a Euclides, muchos matemáticos a lo largo de los siglos han contribuido a la demostración del teorema fundamental de la aritmética, citando enunciados que tienen un significado cercano en sus obras, entre estos científicos se encuentran Kamal ad-Din al-Farisi , J. Preste , L Euler , A. Legendre [8] . La primera formulación exacta del teorema fundamental de la aritmética y su prueba son dadas por K. Gauss en el libro " Investigaciones aritméticas " ( lat. Disquisitiones Arithmeticae ), publicado en 1801 [9] . Desde entonces, han aparecido muchas demostraciones nuevas del teorema, compitiendo entre sí en belleza y originalidad [8] .

Euclides (siglo III aC)

Euclides estableció en los Elementos fundamentos importantes para la teoría de números, incluido el teorema fundamental de la aritmética. En los Libros VII y IX se pueden encontrar tres oraciones muy cercanas en significado al Teorema Fundamental de la Aritmética, a saber, la Proposición 30 del Libro VII, mejor conocida como el Lema de Euclides , la Proposición 31 del Libro VII y la Proposición 14 del Libro IX. A continuación se muestran sus versiones en la traducción de Morduchai-Boltovsky :

VII.30:

Si dos números, multiplicándose entre sí, producen algo, y lo que surge de ellos se mide por algún primer número, entonces (este último) también medirá uno de los originales [10]

VII.31:

Todo número compuesto se mide por algún primer número [11]

IX.14:

Si el número es el más pequeño medible (dado) por los primeros números, entonces no puede ser medido por ningún otro número primo, excepto aquellos que lo midieron originalmente [12]

Actualmente[ ¿Qué? ] tiempo, la prueba del teorema fundamental de la aritmética se deriva de las Proposiciones VII.30 y VII.31, pero Euclides no presentó esta prueba en sus escritos. La proposición IX.14, a su vez, es bastante similar a la afirmación sobre la unicidad de la factorización en factores primos, pero resultó que esta afirmación no cubre todos los casos posibles, por ejemplo, cuando aparece al menos un cuadrado de un número primo. en la descomposición en factores primos [ 13] [14] .

Al-Farisi (siglo XIV)

El famoso científico persa Kamal ad-Din al-Farisi dio un importante paso adelante en el estudio del teorema fundamental de la aritmética. En su obra Memorándum para amigos sobre la prueba de la amistad , demostró la existencia de una factorización en factores primos y proporcionó la información necesaria para demostrar la unicidad de esta descomposición. Sin embargo, Kamal al-Farisi estaba más interesado en construir su propia prueba para el teorema de Sabit ibn Kurra sobre la búsqueda de números amigos , y al-Farisi no buscó probar el teorema fundamental de la aritmética, sino que buscó todos los divisores de un número compuesto [15] . Examinando escrupulosamente la factorización de números, formuló y probó una afirmación que, de hecho, resultó ser una prueba de la existencia de una factorización de un número natural en factores primos.

Traducido, su declaración dice algo así:

Todo número compuesto se puede descomponer en un número finito de factores primos de los que es producto.

En la Declaración 9, al-Farisi formuló un principio para determinar todos los divisores de un número compuesto: esto era exactamente lo que necesitaba para probar el teorema de Ibn Qurra. La traducción es así:

Si un número compuesto se descompone en factores primos como , entonces no tiene divisor excepto y y los productos de cada uno de ellos con cada uno, los productos de tripletes, etc., hasta el producto de todos los elementos sin ninguno. $a$ $a=b\cdot c\cdot d\cdot h\cdot \ldots \cdot k\cdot l$ $a$ $una$ ${\ estilo de visualización b, c, d,..., k, l}$

Ya por la redacción misma de la declaración, se puede concluir que al-Farisi conocía la singularidad de la descomposición en factores primos. Además, todos los enunciados y hechos dados por el científico para probar este enunciado son un conjunto necesario para probar la unicidad en el teorema principal de la aritmética.

Jean Preste (siglo XVII)

Los resultados publicados por Jean Preste en el libro Elements de Mathématiques (1675) confirman que la descomposición en factores primos se consideraba en aquellos días no como algo de interés en sí mismo, sino como una aplicación útil, un medio para encontrar divisores de un número dado. . Preste no formuló ni la existencia ni la unicidad de la descomposición y prestó mayor atención a la búsqueda misma de los divisores de un número [16] . A pesar de ello, Preste, al igual que al-Farisi, proporcionó toda la información necesaria para demostrar la unicidad de la factorización mediante su Corolario IX, que en sí mismo puede considerarse equivalente a la unicidad de la factorización.

Corolario IX:

Si los números y son primos, entonces cada divisor de un número es , o , o , o uno de los productos de estos tres números por . Ese es uno de los seis: . $a$ $b$ $a\cdot a\cdot b$ $a$ $un ^ 2$ $una$ $b$ $1,a,a\cdot a,1\cdot b,a\cdot b,a\cdot a\cdot b$

Euler y Legendre (siglo XVIII)

En The Complete Guide to Algebra (en alemán: Vollstandige Einleitung zur Algebra ), Leonhard Euler publicó resultados similares a los de sus predecesores. Formuló la existencia de la factorización de un número en factores primos y, omitiendo algunos detalles, proporcionó una prueba parcial de ello en el párrafo 41 del capítulo IV de la primera parte de la primera sección del libro.

Su traducción es la siguiente:

Todos los números compuestos que se pueden factorizar están representados por el producto de números primos; es decir, todos sus factores son números primos. Porque si se encuentra un factor que no es un número primo, siempre puede ser factorizado y representado por dos o más números primos.

Euler no formuló teoremas sobre la unicidad de la descomposición, pero propuso un enunciado similar, que dejó sin prueba, en la Sección 65 del Capítulo IV de la primera sección de la primera parte. Allí, Euler explica implícitamente que factorizar un número en factores primos es único, diciendo que todos los divisores de un número se pueden encontrar conociendo los factores primos al factorizar el número dado [17] . Así, este ítem puede considerarse equivalente a la unicidad de la factorización.

Esta declaración se traduce de la siguiente manera:

Cuando factorizamos un número en factores primos, se vuelve muy fácil encontrar todos sus divisores. Porque primero debemos multiplicar los factores primos entre sí, y luego multiplicarlos en pares, tres por tres, cuatro por cuatro, y así sucesivamente, hasta llegar al número mismo.

"Experiencia en la teoría de los números" ( Essai sur la théorie des nombres en francés , 1798) Legendre contiene una prueba de la existencia de la descomposición en factores primos y una suposición peculiar sobre la unicidad de esta descomposición al enumerar todos los divisores primos de un número dado. .

La declaración de Legendre sobre la existencia de una descomposición dice [18] :

Cualquier número que no sea primo se puede representar como un producto de varios números primos , etc., cada uno de los cuales está elevado a una determinada potencia, por lo que siempre se puede suponer , etc. $norte$ $\alfa,\beta,\gamma$ ${\displaystyle N=\alpha ^{m}\beta ^{n}\gamma ^{p))$

La afirmación relacionada con la unicidad de la factorización se da en el párrafo 10 de la introducción, donde Legendre pretendía encontrar el número de todos los divisores de un número y, al mismo tiempo, su suma. La unicidad es fácil de probar a partir de esta afirmación.

Carl Gauss (siglo XIX)

La primera formulación exacta del teorema y su demostración se encuentran en las Investigaciones aritméticas de Gauss (1801). El enunciado del teorema se encuentra en el párrafo 16, y su traducción es la siguiente:

Un número compuesto se puede factorizar en factores primos de una manera única.

Aplicación

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

El Teorema Fundamental de la Aritmética da expresiones elegantes para GCD y LCM .

Denótese por todos los diferentes primos en que se descomponen los números , y los grados con que ocurren en estas descomposiciones, como y respectivamente. Está claro que sólo pueden tomar valores naturales o cero. ${Pi}}$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización {d_ {i}}}$ ${d'_{i))$ ${d_{i}},{d'_{i}}$

Después:

{\text{gcd}}(a,b)=p_{1}^{\min\{\,d_{1},d_{1}'\,\}}\cdot p_{2}^ {\min\{\,d_{2},d_{2}'\,\}}\cdot p_{3}^{\min\{\,d_{3},d_{3}'\,\} }\cdot p_{4}^{\min\{\,d_{4},d_{4}'\,\))\cdot \ldots =\prod p_{i}^{\min\{\,d_ {i},d_{i}'\,\}};

{\text{LCD))(a,b)=p_{1}^{\max\{\,d_{1},d_{1}'\,\))\cdot p_{2}^ {\max\{\,d_{2},d_{2}'\,\}}\cdot p_{3}^{\max\{\,d_{3},d_{3}'\,\} }\cdot p_{4}^{\max\{\,d_{4},d_{4}'\,\))\cdot \ldots =\prod p_{i}^{\max\{\,d_ {i},d_{i}'\,\}}.

Divisores de un número natural

Conociendo la factorización de un número natural, inmediatamente puedes indicar todos sus divisores .

Utilizamos la descomposición canónica del número indicado al inicio del artículo. Los números naturales no son más que el número de primos correspondientes que se dan en la descomposición del número original. Así, para encontrar todos los divisores, basta con escribir productos con todas las combinaciones posibles de números primos, variando el número de cada uno en el producto de a $n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k)),$ ${\displaystyle d_{1},\cdots,d_{k))$ $p_{1},...,p_{k}$ $Pi}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $d_{i}$

Ejemplo: $N=1164=2\cdot 2\cdot 3\cdot 97=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 97^{1}.$

Dado que el número 2 aparece en la expansión 2 veces, puede tomar valores enteros de 0 a 2. De igual forma , toman valores de 0 a 1. Así, el conjunto de todos los divisores está formado por números $d_{1}$ $d_{2}$ $d_{3}$

${\begin{alignedat}{2}1,\\2,\\3,\\97,\\2\cdot 2,\\2\cdot 3,\\2\cdot 97,\\3 \cdot 97,\\2\cdot 2\cdot 3,\\2\cdot 2\cdot 97,\\2\cdot 3\cdot 97,\\2\cdot 2\cdot 3\cdot 97.\end{ alineado}}$ .

Para calcular el número total de divisores, debe multiplicar el número de todos los valores posibles para diferentes . $d_{k}$

En este ejemplo, el número total de divisores es $2\cdot 2\cdot 3=12.$

Funciones aritméticas

Algunas funciones aritméticas se pueden calcular mediante factorización prima canónica.

Por ejemplo, para la función de Euler de un número natural, la fórmula es válida: donde es un número primo y recorre todos los valores involucrados en la expansión en factores primos ( prueba ). $\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right),\;\;n>1,$ $pags$ $norte$

Factorización del producto de números naturales

El producto de dos números se puede calcular de la siguiente manera:

a\cdot b=p_{1}^{d_{1}+d_{1}'}\,p_{2}^{d_{2}+d_{2}'}\,p_{3} ^{d_{3}+d_{3}'}\,p_{4}^{d_{4}+d_{4}'}\ldots =\prod p_{i}^{d_{i}+d_{ i}'},

donde es la potencia con la que se presenta el número primo en la expansión del número . Ejemplo: ${d'_{i))$ ${Pi}}$ $b$ $68\cdot 36=(2\cdot 2\cdot 17)\cdot (2\cdot 2\cdot 3\cdot 3)=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 17$

Teorema fundamental de la aritmética en anillos

Considere el teorema fundamental de la aritmética en un caso más general: en anillos normativos y en anillos euclidianos .

Un anillo que tiene un algoritmo de división con un resto se llama anillo euclidiano. Para cualquier anillo euclidiano, la demostración del teorema fundamental de la aritmética se puede realizar exactamente de la misma forma que para los números naturales.

Teorema fundamental de la aritmética en el anillo de los enteros gaussianos

El teorema principal de la aritmética con una ligera corrección (es decir, se aclara que los factores se toman no solo hasta el orden de sucesión, sino también hasta la asociación : las propiedades de los números gaussianos se obtienen entre sí multiplicando por el divisor de unidad : 1, i , −1 o −i ) tiene lugar en el anillo de los enteros gaussianos . La idea de la prueba es encontrar un algoritmo de división con resto en un anillo dado de números [19] .

No unicidad de descomposición en un anillo

Sin embargo, este teorema no se aplica a todos los anillos [19] .

Considere, por ejemplo, números complejos de la forma , donde , son números enteros. La suma y el producto de tales números serán números de la misma especie. Entonces obtenemos un anillo con norma . $a=m+in{\sqrt {5}}$ $metro$ $norte$ $N(a)=m^{2}+5n^{2}=|a|^{2}$

Hay dos descomposiciones diferentes para el número 6 en este anillo: . Queda por demostrar que los números son primos. Demostremos que el número 2 es primo. Deje que el número se descomponga en factores primos como . entonces _ Y para que los números sigan siendo primos, la única opción es que sean exactamente 2. $6=2\cdot 3=(1-i{\sqrt {5)))(1+i{\sqrt {5)))$ $2,3,1\pm i{\sqrt {5}}$ $2$ $(m_{1}+in_{1}{\sqrt {5)))(m_{2}+in_{2}{\sqrt {5)))$ $4=|m_{1}+in_{1}{\sqrt {5}}|^{2}|m_{2}+in_{2}{\sqrt {5}}|^{2}= (m_{1}^{2}+5n_{1}^{2})(m_{2}^{2}+5n_{2}^{2})$ $m_{1}+in_{1}{\sqrt {5}}$ $m_{2}+in_{2}{\sqrt {5}}$ $m_{1}^{2}+5n_{1}^{2}$ $m_{2}^{2}+5n_{2}^{2}$

Pero en el anillo bajo consideración no hay números con norma 2, por lo que tal descomposición es imposible, por lo que el número 2 es primo. Los números se tratan de manera similar . $3.1\pm i{\sqrt {5}}$

Los anillos en los que aún se cumple el principal teorema de la aritmética se denominan factoriales .

Véase también

Notas

↑ Davenport, 1965 .
↑ Zhikov, 2000 , pág. 112.
↑ Kaluzhnin, 1969 , pág. 6-7.
↑ Weisstein, 2010 , págs. 1126.
↑ Davenport, 1965 , pág. 15-16.
↑ Davenport, 1965 , pág. 17-18.
↑ Davenport, 1965 , pág. 26-27.
↑ 1 2 A. Göksel Ağargün y E. Mehmet Özkan, 2001 , p. 207.
↑ Davenport, 1965 , pág. 17
↑ Comienzos de Euclides, Libros VII - X, 1949 , p. 33.
↑ Comienzos de Euclides, Libros VII - X, 1949 , p. 34.
↑ Comienzos de Euclides, Libros VII - X, 1949 , p. 83.
↑ Hendy, 1975 .
↑ Mullin, 1965 .
↑ A. Göksel Ağargün y E. Mehmet Özkan, 2001 , pág. 209.
↑ A. Göksel Ağargün y E. Mehmet Özkan, 2001 , pág. 211.
↑ A. Göksel Ağargün y E. Mehmet Özkan, 2001 , pág. 212.
↑ AM Le Gendre, Essai sur la théorie des nombres , París, VI (1798), p. 6.
↑ 1 2 Zhikov, 2000 , pág. 116.

Literatura

Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números . - Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1952. - 180 p. — 10.000 copias.
Davenport G. Aritmética superior / ed. Yu. V. Linnik , trad. B. Z. Moroz - M. : Nauka , 1965. - S. 15-38. — 176 pág.
Zhikov V. V. Teorema fundamental de la aritmética // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , N º 3 . - S. 112-117 .
Kaluzhnin L. A. El teorema fundamental de la aritmética . — Conferencias Populares de Matemáticas . — M .: Nauka, 1969. — 32 p.
Courant R., Robbins G. Suplemento del Capítulo I, § 4.2 // ¿Qué son las matemáticas? - MTSNMO , 2000. - 568 p.
Weisstein E. W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (inglés) - Segunda edición - Chapman and Hall London , CRC Press , 2010. - 3242 p. — ISBN 978-1-4200-3522-3
A. Göksel Ağargün y E. Mehmet Özkan. Un estudio histórico del teorema fundamental de la aritmética // Historia Mathematica. - 2001. - vol. 28. - Pág. 207-214. -doi : 10.1006/ hmat.2001.2318 .
D.D. Mordukhai-Boltovskoy, I.N. Veselovsky. El comienzo de Euclides. Libros VII-X. - Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1949. - 510 p.
Doctor en Medicina Hendy. Euclides y el teorema fundamental de la aritmética . - Historia Matemática 05/1975, 1975.
A. A. Mullin. Observaciones matemático-filosóficas sobre nuevos teoremas análogos al teorema fundamental de la aritmética. — Notre Dame Journal of Formal Logic, 1965.

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto primo unitario número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante