Índice de subgrupos

El índice de un subgrupo en un grupo es el número de clases laterales en cada (derecha o izquierda) de las expansiones del grupo con respecto a este subgrupo (en el caso infinito, la cardinalidad del conjunto de estas clases). $H$ $GRAMO$ $GRAMO$ $H$

El índice de un subgrupo dentro de un grupo generalmente se denota por . $H$ $GRAMO$ $[G:H]$

Definiciones relacionadas

Si el número de clases laterales es finito, entonces se llama un subgrupo de índice finito en . $H$ $GRAMO$

Propiedades

La intersección de un número finito de subgrupos de índice finito en sí misma tiene un índice finito (teorema de Poincaré).
El producto del orden de un subgrupo y su índice es igual al orden del grupo (teorema de Lagrange). $H$ $[G:H]$ $GRAMO$
- Esta relación se cumple tanto para un grupo finito como, en el caso de uno infinito, para las cardinalidades correspondientes. $GRAMO$ $GRAMO$
La fórmula de Day es una fórmula recursiva para expresar el número de subgrupos de un índice dado de un grupo dado en términos del número de homomorfismos del grupo simétrico . $N_{n}$ $GRAMO$ $H_n$ $GRAMO$ $S_{n}$ $N_{n}={\frac {H_{n}}{(n-1)!}}-\sum_{{i=1}}^{{n-1}}{\frac {N_{i} {\cdot}H_{{ni}}}{(ni)!}}$

Literatura

wilfried imrich, Sobre el número de subgrupos de índice dado en , Archiv der Mathematik , diciembre de 1978, Volumen 31, Número 1, 224-231 $SL_{2}({\matemáticas Z})$