Desigualdad cuántica de Cramer-Rao

La desigualdad cuántica de Cramer-Rao es una desigualdad para el límite inferior del error cuadrático medio en la teoría de estimación cuántica , similar a la desigualdad de Cramer-Rao en la teoría de estimación clásica.

Redacción

Considere la estimación cuántica del operador de densidad utilizando la medida del operador probabilístico , que da una estimación La densidad de distribución de probabilidad a posteriori de la estimación cuántica se puede calcular como Las expectativas matemáticas de las estimaciones cuánticas se obtienen en la forma . Aquí , es la traza del operador en el espacio de Hilbert. Considere estimaciones no sesgadas, es decir, estimaciones para las cuales la identidad es verdadera: . Las covarianzas de las estimaciones insesgadas están dadas por: . Con una función de pérdida cuadrática, el riesgo promedio es . Aquí está la traza de la matriz [1] . ${\ estilo de visualización \ rho (\ theta)}$ $d\Pi ({\sombrero {\theta)))$ ${\ sombrero {\ theta))$ $q({\hat {\theta }}|\theta )=q({\hat {\theta }}|\theta )d^{m}\theta =\operatorname {Tr} [\rho (\ theta )d\Pi ({\sombrero {\theta )))]$ ${\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\int _{\Theta }{\hat {\theta }} _ {j}\,\nombre del operador {Tr} [\rho (\theta )d\Pi ({\hat {\theta )))]$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Tr}}$ ${\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\theta _{j}$ $B_{ij}$ $B_{ij}=E[({\sombrero {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{i})({\sombrero {\theta }}_{j} -{\bar {\theta }}_{j})|\theta ]=\int _{\Theta }({\hat {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{ i})({\hat {\theta }}_{j}-{\bar {\theta }}_{j})\operatorname {Tr} \rho (\theta )\,d\Pi ({\hat {\ theta)))$ ${\bar {C}}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} GB$ $\nombre del operador{tr}$

La primera forma de la desigualdad cuántica de Cramer-Rao [2] :

{\tilde {Y}}POR\geqslant {\tilde {Y}}A^{-1}Y

La segunda forma de la desigualdad cuántica de Cramer-Rao [2] :

{\tilde {Z}}B^{-1}Z\geqslant {\tilde {Z}}AZ

Aquí , están determinados por la fórmula , obtenemos de , donde , . $A_{ij}=\operatorname {Tr} \left({\frac {\parcial \rho }{\parcial \theta _{i))}L_{j}\right)$ ${\ Displaystyle L_ {k}}$ ${\frac {\parcial \rho }{\parcial \theta _{k))}={\frac {1}{2))(\rho L_{k}+L_{k}\rho )$ ${\ estilo de visualización Y, Z}$ $\operatorname {Re} \operatorname {Tr} \left(\int _{\Theta }T_{\theta }\rho T_{L}\,d\Pi ({\hat {\theta )))\ derecha)={\tilde {Y}}Z$ $T_{\theta }=1\sum_{j=1}^{m}y_{j}({\hat {\theta }}_{j}-\theta_{j})$ ${\displaystyle T_{L}=\sum_{k=1}^{L}z_{k}L{k))$

Notas

↑ Helstrom, 1979 , pág. 295.
↑ 1 2 Helstrom, 1979 , pág. 297.

Literatura

Helstrom K. Teoría cuántica de prueba y estimación de hipótesis. — M .: Mir, 1979. — 344 p.